from 様々な随伴の定義

対称性がわかりやすい

随伴という単語を使う理由になっている

随伴の普遍射を用いた定義より少し確認することが多くて、すぐに得られる結果は随伴の単位-余単位と関手の合成の等式を用いた定義より少なくなる

定義

随伴とは以下の組(F,G,\phi)のことを言う

関手F:\mathscr{B}\to\mathscr{A}

関手 G:\mathscr{A}\to\mathscr{B}

F-はF(-)ってことだよ

このとき、随伴F\dashv Gと記述する

FはGの左随伴であり、

GはFの右随伴である

つまり全ての組(A,B)に関して、\mathscr{A}(FB,A)\cong\mathscr{B}(B,GA)が成り立つ

これ、「随伴とは、|A|* |B|個の自然同型のとある組である(雑)」と言えばイメージしやすそうだけど、こういう表現は見たことがない

雑すぎて良くない表現なのか、そもそも間違っているのか #??

この自然変換(の組)を\varphi_{B,A}と表現してるあたり、それほど外してはなさそう

\phiは全単射の族

\phiは、A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B}によって添字付けられた以下の全単射の族を定める

\phi_{B,A}: \mathscr{A}(FB,A)\to\mathscr{B}(B,GA)

具体的に\phi_{A_1,B_1}を見てみよう

これは以下の緑の部分の射の対応を与える全単射

こういう対応がA_1,B_1に限らず、全ての対象に対してある

もちろんA_1,B_2にもある

それが族

自然同型について

\phiはどういう関手圏の同型射か

関手圏\mathrm{Set}^{\mathscr{B}^\mathrm{op}\times\mathscr{A}}

なんで #??

任意の\mathscr{A}の射f:A\to A'と、任意の\mathscr{B}の射f:B\to B'について、上の右側の四角形が可換になる

これを\phiの自然性と言う

参考