from 様々な随伴の定義

書くのが簡単

随伴関手を構成したり、随伴であることを証明する場合に必要な検証項目が少ない

与えられた関手が左または右随伴関手であることだけを確かめたいときに、必要な証明が最小限となるため、しばしば有用である

普遍射を求めることは最適化問題を解くことと似ているため、直観的でもある

定義

関手F:\mathscr{B}\to\mathscr{A}が左随伴関手であるとは、

\forall A\in\mathscr{A}からFへの普遍射が存在することである

関手G:\mathscr{A}\to\mathscr{B}が右随伴関手であるとは、

\forall B\in\mathscr{B}からGへの普遍射が存在することである

インフォーマルな定義の解釈

\mathscr{A}の全ての対象に対して、Fへの普遍射が存在するなら、

自動的に随伴Gが定義できるということ

wikiの定義について

以下の2つを合わせて読むとわかりやすい

逆に一方だけ読んだら微妙に分かりづらかった

G_0Xと言っているのは、圏Dの中で適当な対象を選んで適当に名付けている

その後、関手Gを作るときに、GXが、先程名付けたGX_0だと定義すると、良い感じにGが関手になることを言っている

随伴中の普遍射の出現をイメージする

自然性の公理#5f639c491982700000f1a0eaのこの図を使う

水平線の上側が\mathscr{A}の世界で、下側が\mathscr{B}の世界

上図から紫の部分を書き換えた

それ伴って自動的に緑の部分も書き換わった

Aなどは\mathscr{A}の任意の対象なのでこういう書き換えができる

このとき、下段の\eta_Bが普遍射になっている。どういうことか

ここを取り出すとこんなふうになる

Bから任意のGA_iに向かう射は必ず\eta_Bを経由することができる

故に\eta_Bは、BからGへの普遍射である

これが全てのBで成り立つので、

自然変換\eta:\mathrm{Id}_\mathscr{B}\to GFは、関手Gに対して普遍的である

たぶん厳密には変なことを書いている

因果関係がおかしいかもしれない

ちゃんと理解していない

参考

『圏論入門』 p.155-

べ試験などにもあるかも