第二同型定理
from 同型定理
第二同型定理
H,Nを群Gの部分群で、N\triangleleft Gとする
このとき以下の3つが成り立つ
また、HN=NHである
(2)N\triangleleft HN, H\cap N\triangleleft H
(3)H/{H\cap N}\cong {HN}/N
括りがわかりにくいのでtex表記参照
ここの同型が重要
補足
「N\triangleleft G」は正規部分群
(3)のために、(1)(2)で準備している、という風に読める
(3)のHNってどんな群？→(1)で定義
\diamondsuit/\clubsuitの形をしている時、\clubsuit\triangleleft\diamondsuitであるということを言っておきたい→(2)で示す
ざっくりイメージ
ちなみに、図を見ても分かる通り一般にH\cup N\sub HNとなる
H1_Nと1_HNだけで、H\cup Nになり、それ以外の元もあるので
証明
(1)
目的
部分群であることを示すために以下の3つを示せばいい
単位元について1_{HN}\in G
逆元について{nh}^{-1}\in G
積が閉じているn_1h_1n_2h_2\in NH
単位元について
1_G\in N,Hなので、1_G=1_G1_G\in NH
逆元について
{hn}^{-1}=n^{-1}h^{-1}\in Nh^{-1}=h^{-1}N\sub HN
補足
左から右に一つずつ読んでいけばいい
2つ目の
= : Nが正規部分群より積について
(h_1n_1)(h_2n_2)\in h_1Nh_2N=h_1h_2NN\sub HN
補足
左から右に一つずつ読んでいけばいい
∈ : h_1n_1\in h_1Nなどからわかる = : Nが正規部分群なのでNh_2=h_2Nが成り立つ ⊂ : h_1h_2\in Hなどからわかるまた、h\in Hなら、hN=Nhなので、NH=HN
(2)
目的
\forall x\in HN, \forall n\in Nについて、x^{-1}nx\in HNを示せばいい
\forall x\in H\cap N, \forall h\in Hについて、h^{-1}nh\in H\cap Nを示せばいい
つまり h^{-1}nh\in Hかつ、 h^{-1}nh\in Nを示せばいい
\forall x\in HN, \forall n\in Nについて、x^{-1}nxを考える
(1)より、HN\le Gなのでx\in G
よって、N\triangleleft Gよりx^{-1}nx\in N
故にN\triangleleft HN
\forall x\in H\cap N, \forall h\in Hについて、h^{-1}nhを考える
\forall x\in H\cap N, \forall h\in Hの条件から h^{-1}nh\in Hは自明
また、x\in Nなので、 h^{-1}nh\in N
\because N\triangleleft G
ゆえにH\cap N\triangleleft H
(3)
目的
写像\varphi: H\to {HN}/Nが全射準同型であることを示す
準同型であること
全射であること
\mathrm{Ker}(\varphi)=H\cap Nであることを示す
ここまでくれば準同型定理を使ってH/{H\cap N}\cong {HN}/Nが言える
まず2つの準同型写像を考える
f: H\ni h \mapsto h1_N\in HN
これは包含写像であり、準同型写像
g: HN\ni h\mapsto hnN=hN\in HN/N
これは自然な準同型写像
この2つの準同型の合成した準同型写像を得る
\varphi: g\circ f: H\ni h\mapsto hN\in HN/N
次にこの\varphiが全射であることを確認する
HN/Nの任意の元はhnNという形をしている
hnN=hN=\varphi(h)
よって全射
故に\mathrm{Im}(\varphi)=HN/N
次に\mathrm{Ker}(\varphi)を考える
\mathrm{Ker}(\varphi)=\{h\in H| \varphi(h)=hN=N\}
NはHN/Nの単位元
= \{h\in H|hN=N\}
∵\varphiの定義
= \{h\in H|h\in N\}
=H\cap N
よって\mathrm{Ker}(\varphi)=H\cap N
参考
『代数学 1 群論入門』 p.65~
証明が簡素すぎる