from 関手と極限

「極限を取る操作」を「関手」とみなす

下図のどの部分のこと #??

対象の対応

F\to\lim_\leftarrow F

詳しくは、 p.143

射の対応

下図のような状況を考える

関手圏Fun\mathscr{A}^Jから、\mathscr{A}への関手を考える

対象としてF,G,Hなど、射として\alpha,\betaなど

圏\mathscr{A}の中には、

Fによって写されたFj,Fkなどがあり、Fによる極限\lim_\leftarrow Fが存在する

これは錐(\lim_\leftarrow F, \{p\})

Gについても同様

青い部分はFによる極限錐で、緑の部分はGによる極限錐

それぞれ独立に存在しているもの

Fの話だけをしているときは、緑の構造はできていない

ここで、Gについてのみを考える

極限錐は緑

Gについての錐の一つとして\lim_\leftarrow Fを見る

どういうことか

例えば直積のような普通の錐について考えているときはこんな感じだった

Xや\lim_\leftarrow GはGへの錐であり、後者が極限錐だった

このXの一つとして\lim_\leftarrow Fを見る

こう

最初の図に書き込むならこう

\lim_\leftarrow Gは極限錐なので、上図のように\lim_\leftarrow Fから\lim_\leftarrow Gへの仲介射\lim_\leftarrow \alphaが一意に決まる

以上により、対象の対応と、射の対応は取れた

残す関手の条件は

射の合成の保存

恒等射の保存

射の合成の保存について

関手の図の黄色の部分を今回の話に適用したい

要は以下を示したい

\lim_\leftarrow\beta \circ\lim_\leftarrow\alpha =\lim_\leftarrow(\beta\circ\alpha)

詳しくは pp.143-144

参考

『圏論入門』 4.5