母平均と同じ

だよな？

有限確率空間上の期待値

確率変数Xの期待値Eは

E(X)=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})

Xは有限確率空間(\Omega, P)上の確率変数

例えば

\Omega=\{\omega_1,\cdots,\omega_N\}

X(\omega_j)=x_j

P(\{\omega_j\})=P_j

のときE(X)=x_1P_1+\cdots+x_NP_Nになる

一般の確率空間上の期待値

E(X)=\int_\Omega X(\omega)dP(\omega)

ルベーグ積分を使って定義する

Xは確率空間(\Omega,\mathcal{F},P)上の確率変数

確率密度関数から求める

確率密度関数がf(x)のとき

期待値は\mu=E(X)=\int xf(x)dx

分散は\sigma^2=\int(x-\mu)^2f(x)dx

なんでE(X^2)=\int x^2f(x)dxになる？

\int xf(x^2)dxとはならない？

確率変数が変わるだけで、確率は変わらないので。

定義関数の期待値

事象Aが起こることを表す定義関数1_A

の、期待値E(1_A)はその事象が起こる確率P(A)と等しくなる

E(1_A)=P(A)

性質

E(a X)=a E(X)

E(X+c)=E(X)+c

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

E(X Y)=E(X) E(Y)

XとYが独立の時

X\le Y\Rightarrow E(X)\le E(Y)

|E(X)|\le E(|X|)

\because |\sum a_i|\le\sum|a_i|

関数の合成

(\phi\circ X)(\omega)=\phi(X(\omega))