とある関数

確率「変数」だが、「関数」なんだな

定義

有限確率空間では

有限確率空間(\Omega,P)上の関数X:\Omega\to\mathbb{R}のことを確率変数という

一般の確率空間では

一般の確率空間(\Omega,\mathscr{F},P)では、F可測関数Xを確率変数という

すなわち\forall a\in\mathbb{R}に対して、\{\omega\in\Omega|X(\omega)\lt a\}\in\mathscr{F}が満たされるときXを確率変数という

確率変数の確率分布

有限確率空間(\Omega,P)上の確率変数Xに対して

\Omega_X: Xの値域

にたいして

P_X(A)=P(X^{-1}(A))と定義する

ここでX^{-1}(A)=\{\omega\in\Omega|X(\omega)\in A\}\in\Omega

AのXによる逆像

P_Xは\Omega_X上の確率測度となる

確率測度P_XをXの確率分布という

有限確率空間の確率変数の独立性

X,Yが独立とは

\forall x\in\Omega_X,\forall y\in\Omega_Yに対して、P(X=x,Y=y)=P(X=x)(Y=y)が成り立つ

性質

X,Yが独立のとき\Leftrightarrow

\forall A\subset \Omega_X, \forall B\sub\Omega_Yに対して、P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)が成立

一般の確率空間の確率変数の独立性

X,Yが独立とは

\forall x\in\Omega_X,\forall y\in\Omega_Yに対して、P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)(Y\le y)が成り立つ

代わりに可測写像と呼ぶ

確率分布を前提にして、確率変数を捉えるとわかりやすい

(これが数学的にどこまで厳密に言いきっていいものなのかわからないけど)

まず確率分布があって、その確率分布の内のいずれかの値を取るような変数が確率変数

確率変数Xが決まれば、その確率P(X)がわかる