随伴F\dashv Uから定まる自然変換\eta: \mathrm{Id}_\mathscr{B}\to UFのこと

単位\etaが自然変換であることの証明

前提となる状況

Aは\mathscr{A}の任意の対象なので、ここにFBを当てはめる

図の下部は自然性の公理の対応を表している

Bを代表っぽくB_1と書いてみる

B_2と書いたものと重ね合わせる

この図の右側の正方形が可換になることを示すことで、\etaが自然変換であるということが示される

つまり下図が可換になる

緑線、青線を別々に関手の写し先との一対一対応を見る

先程の図で見ればここが対応している

また、この2つの赤線は共にFf:FB_1\to FB_2に等しい射を示している

よって青線と緑線も一対一に対応する

よって先程の四角形は可換になるので、\etaは自然変換である

参考

『圏論入門』 pp.150-151