京都大学 代数学代数学II 第一回
from 京都大学 代数学代数学II
京都大学 代数学代数学II 第一回
２時方程式
すごく古くていつとかわからない
3,4次方程式は16世紀半ば
５次方程式
一般の形の解の公式はないことを証明できる
アーベル
さき 群論を使う
おもしろい
論文はわかりにくい
高木貞治の代数学講義にある
ガロア理論は使わない
アーベル、ルフィニの解法ともいうが
高木貞治は、ルフィニは大したことやってないのでは、という
ガロア
存在するための条件を記述
現在の代数学では、方程式論は主流でない
が、フェルマーの定理でも
x^p + y^p = z^p
\zeta = e^{ 2 \pi \sqrt{-1} \over p}
ゼータを原始p乗根として
として
\Pi_{i=0}^{p-1} (x + \zeta^i y) = z^p
という変形をした
Qではなく\mathbb{Q}(\zeta)で考察したりなど
など、ガロア理論を使う
という感じで、基礎にはなっている
しかし、方程式論は主流でなくなっている
体の定義に対して、ガロア群を定義
途中にある体と途中にある群が1対1対応する、というのがガロア理論
解の公式があるということは
たとえば2自方程式
K(\sqrt{b^2-4a})に解があるということになる
ちゅうかんたいの列が作れなければ解がないということが言える
作図問題
角の二等分線
立方体の体積を長さに持つ線を作図できるか
記号
\mathbb{N} = \{ 0,1,2, ...\}
どっちでもいいが0含めて
集合と対応させるとき、空集合と0をいうほうが
\mathbb{Z} 整数 ドイツ語
\mathbb{Q} quationt
\mathbb{R}real
\mathbb{C}complex
Def 定義 (definition)
Lem 補題 lemma
Prop 命題 proposition
Th 定理 theorem
pf 証明 proof
最後に四角の記号
Prob 例題、問題
Ex 例
Conj 予想 conjecture
群の定義
Def 群
G \ne \phiが群とは
G \times G \rightarrow Gがあり
(a,b) \rightarrow ab \in G
\exists e \in G , \forall g \in G \Rightarrow ge = eg = g
\forall g \in G, \exists h \in G, \Rightarrow gh = hg = e
\forall a,b,c \in G, (ab)c = a(bc)
環の定義
可換環のみ扱う
Def Aが環とは
２つの演算
+と\cdot(\times)があり次を満たす
Aは+に関してアーベル群
両側 分配法則
a(b+c) = ac + bc
(b+c) a = ba + ca
積に関する結合法則
(ab)c = a(bc)
積に関する単位元の存在
\exists 1 \in A, 1a = a1 = a
さらに、ab=baのとき可換環
しかし、結合法則を満たさない環も極稀に考える時がある
ジョルダン代数
先生はAを使う流儀
Rだと局所化のときにつらい
行列の環のときだけRとか
体の定義
Def
Kが可除環とは
Kが環であり
a \in K, a\ne 0なら
\exists b \in K, ab=ba = 1
可換な可除環を体という
可除環 (division ring)
日本だと、斜体と言ったりする
前期の復習と補足
代数学１
環論
Kの元がA上整なら、Aの元になるとき、Aを正規環
あるいは整閉整域という
x^n + a_1x^{n-1} + ...
a_i \in A
モニックの根 のことをA上整 という
A=\mathbb{C}[x]
a_1, a_2, ... \in A
a_1 = a_1(x)
y^n + a_1 y^{n-1}... = 0
xに何を代入しても上を満たすy \in \mathbb{c}がある
という事情がある
もし整でないと
たとえば
xy^2 - x + 1 = 0
x=0のとき、満たすyがない
代数幾何の言葉でいうと、
A,B環 があってBがA上有限加群
Spec B -> specA 閉写像
2y^2 -3 =0 2を法とすると(mod
1=0になる
ユークリッド環ならば
\Rightarrow単項イデアル整域 PID
\Rightarrow正規環
ここまで復習
補足