集合Gが群であるとは、二項演算が定義されていて、

の公理が成り立つ時をいう

上二つがなりたつものはモノイドという

モノイドに逆元の存在をあわせると群になる

関連

可換群 加法群

濃度が有限か無限かで、有限群、無限群という

特に濃度を群論では位数という

群の概念の登場とは別に、

上のような定義のやり方はコーシーによるものらしい

モノイドと単一対象圏のときのように、可逆な（圏論の）モノイドを、（圏論の）群と呼ぶ