二項演算
binary operation
2つの数に対して演算をして新たな数を作るもの二項演算と呼ぶ。
(
二項関係は2つの要素の関係性を示し、
二項演算には2つの要素に対する演算結果がある。)
一般的に使われているのは以下のようなものになる。他にもたくさんある。(定義しだい)
二項演算でよく現れる定理(演算子により実際にどれが成立するのかは異なる。要注意。)
演算子はここでは\circ, \starで書いているが、そこに何が入るかは示していない。
a \circ 0 = 0
ここでは零元を0と表記しているが、数値の0ではないことがある。
a \circ 1 = a
ここでは単位元を1と表記しているが、数値の1ではないことがある。
例えば、加算の場合の単位元は0になる。
a \circ b = 1
bはaの逆元。a^{-1}と表記される。
a \circ b = 0 \quad (ただし、a \ne 0 かつ b \ne 0)
零因子が存在しないならば、以下が成り立つ。
a \circ b = 0 \iff a = 0 または b = 0
1 \circ a = 0 となる0以外の a の存在。
マイナス元の存在
a \circ -1 = -a
-1 \circ -1 = 1
結合法則(結合順序(計算順序)を変えても同じ結果)
(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
a \circ b = b \circ a
k \star (a \circ b) = (k \star a) \circ (k \star b)
(k \circ l) \star a = (k \star a) \circ (l \star a)
これらの法則がどう成り立つかで、
数学的構造での分類が変わる。
参考
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