複素対数関数
ln(x)はx>0と習った
でも、 e^{i\pi}=-1なので、\ln(-1)=iπといえるはず
拡張された定義でもあるのかな
複素対数関数という物があるのか
重複が抜けています
e^{i\pi}=e^{i\pi+2n\pi}\ .\mathrm{for~}\forall n\in \Bbb{Z}なので、
\ln(-1) : i\pi+2ni\piという多価函数がより正しいです
記号は適当にごまかしました
=で結べないので
i\pi+2ni\piから適当な代表値(主値という)をとってきて、それを戻り値とすれば函数として定義できます
定義域を制限すると言ったほうが正確かも
\mathrm{Log}(-1)=i\pi
\mathrm{Ln}は余り使われないっぽい
大文字Log/Lnが複素対数関数?
逆か、多価関数でない対数関数がLog/Lnか
\ln:\Bbb{R}_+\rightarrow\Bbb{R}: （実数）対数関数、標準対数
ここで、\Bbb{R}_+:=\{x\in\Bbb{R}|x>0\}
\ln(z), z \in \Bbb{C}: 複素対数関数
存在しません
複素対数関数#60cc5824e5172d00004a5851の定義域をそのまま複素数には拡張できない
zに対応する値が無限個現れてしまう
なるほど
\mathrm{Log}:\Bbb{C}\backslash\{0\}\ni z\mapsto \ln|z|+i\arg z\in\Bbb{C}: 複素対数関数の主値
より一般にオイラーの公式 e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\thetaで考えると
既にまとめてくれている記事がありました
雑にやると\ln z=\ln\left(|z|e^{i\arg z}\right)=\ln|z|+i\arg zとなりそうだから、\mathrm{Log}z:=\ln|z| + i\arg zと定義するという感じですかね
「なりそう」とぼやかしたのは、まだ定義していない複素対数関数の性質を使っているから
前者の式展開が成り立つよういい感じに定義すると、後者になる
主値では\theta \in (-\pi, \pi]とするのが一般的らしい
偏角\arg zの主値を\mathrm{Arg}z \in (-\pi, \pi]として、\mathrm{Log}z:=\ln|z| + i\mathrm{Arg} zと定義する
\arg zを主値として定義する場合もあるっぽい
\def\if{\mathrm{if}}\arg: \Bbb{C}\backslash\{0\}\ni z\mapsto\begin{dcases}\tan^{-1}\frac{\Im z}{\Re z}\quad&\if\ \Re x>0\\\pi+\tan^{-1}\frac{\Im z}{\Re z}&\if\ \Re x<0\land \Im z\ge0\\-\pi+\tan^{-1}\frac{\Im z}{\Re z}&\if\ \Re z<0\land \Im z<0\\\frac\pi2&\if\ \Re z=0\land\Im z >0\\-\frac\pi2&\if \Re z=0\land\Im z<0\end{dcases}\in(-\pi, \pi]
まあでも\mathrm{Log}と揃えたほうが見やすいから、\mathrm{Arg}を使うことにするか
これが丁寧に説明されていてよかった
Arg(z), arg(z), Ln(z), ln(z)をそれぞれ定義していってる
よさそう
一つづつ手順を踏んで式展開している感じ
多価関数を函数とみなしている点がアレだけどまあそこはしょうがない
英語の文献だったので一瞬びっくりした
英語の数学資料はほとんど読んだことがない
大学生のくせに英語の文献探せないマン
複素対数関数のln(2)って何になりますか..?
\ln(1)=0+i2πn
\ln(2)=..?
\mathrm{Ln}(2)=0.693...
\def\Ln{\mathrm{Ln}} 2=e^{\Ln(2)}=e^{\Ln(2)}\times1=e^{\Ln(2)}\times{e}^{i2πn}=e^{\Ln(2)+i2πn}
\ln(2)=\mathrm{Ln}(2)+2iπnか!
（違ったら教えてください）
イコールの結び以外は大丈夫だと思います
多価関数とその値の一つを結びたい場合、何の記号を使うべきですか?
多価関数ってどうやって定義されるんだろう
多価関数っていう言葉自体を使わないべき
函数は「入力xに対して出力が一意に定まる関係」のこと
出力が一意に定まらない時点で多価関数は函数ではない
函数ではないものを多価「函数」なんて呼んだら混乱を招くだけ
ex: \ln(1)と2πを結びたい場合
2π∈\ln(1)かと最初思ったけど、集合ではないので違う..?
集合として定義すればいけそう
やるとしたらこうかな
2\pi\in \exp^\leftarrow[\{1\}]
ここで、f^\leftarrow[B]:=\{x\in A|f(x)\in B\}
fの逆像
函数っぽい表記をまず止めるべき
f(x)という表記は、入力xに対して出力f(x)がただ一つだけ存在するときにしか使えない
多価関数は函数ではないので、多価関数を函数っぽい表記で表そうとする段階で矛盾している
f(x,y)=0のような陰関数の表記で書くしかない
\forall z\in\Bbb{C}\exist w\in\Bbb{C};z=e^w
ちなみに「対応」という概念もある
でも抽象度を高めていくほど使える道具が減っていくのでここの話題ではそっちに進んでも実りがなさそうかなーと思う
クリフォード代数の話みたい
次元が上がるにつれて、成立する演算法則がひとつ、またひとつと消えていく
八元数だと加算の交換法則が不成立となる
使いにくくなる話は共通しているけど、抽象度が上がっているかは微妙か
対応も写像みたいな記号使うことあるんだ
\ln(e)=Ln(e)+2iπnなのか
References
整理すると下の定理になる
分枝 :
\mathrm{Log} z := \ln|z| + i\thetaは対数関数の主分枝
1. Fは\Omegaで正則で
2. 任意のz \in \Omegaに対してe^{F(z)}=z,
3. rが実数で1に近いときF(r)=\log r
となるものが存在する.
Fを関数z\mapsto\frac{1}{z}の原始関数として構成することにより示される
関連 / 依存関係
Cauchyの積分定理とその一般形