和積の公式の問題をオイラーの公式で解く
from @yuyasurarin
和積の公式の問題をオイラーの公式で解く
オイラーの公式を使うと機械的に導出できたりします
4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2
=4\Re e^{i\frac A2}\Re e^{i\frac B2}\Re e^{i\frac C2}
\Re z:=\frac{z+\bar{z}}{2}
複素数の実部を取り出す関数
=4\cdot\frac{e^{i\frac A2}+e^{-i\frac A2}}{2}\frac{e^{i\frac B2}+e^{-i\frac B2}}{2}\frac{e^{i\frac C2}+e^{-i\frac C2}}{2}
=\frac12\left(e^{i\frac{A+B}{2}}+e^{-i\frac{A+B}{2}}+e^{i\frac{A-B}{2}}+e^{i\frac{-(A-B)}{2}}\right)\left(e^{i\frac C2}+e^{-i\frac C2}\right)
=\frac12\left(e^{i\frac{A+B+C}{2}}+e^{-i\frac{A+B+C}{2}}+e^{i\frac{A-B+C}{2}}+e^{i\frac{-(A-B+C)}{2}}+e^{i\frac{A+B-C}{2}}+e^{i\frac{-(A+B-C)}{2}}+e^{i\frac{A-B-C}{2}}+e^{i\frac{-(A-B-C)}{2}}\right)
ここまで、展開しただけ
=\cos\frac12(A+B+C)+\cos\frac12(A-B+C)+\cos\frac12(A+B-C)+\cos\frac12(A-B-C)
ここまでは任意のA,B,Cで成立する
=0+\cos\left(\frac\pi2-B\right)+\cos\left(\frac\pi2-C\right)+\cos\left(A-\frac\pi2\right)
\because A+B+C=\pi
= \sin B+\sin C+\sin A
\underline{= \sin A+\sin B+\sin C\quad}_\blacksquare
なんもわからん！！！wogikaze.iconMijinko_SD.icon
(初心者に対する説明として非常に不適切なコメントなので@に書かないほうがいいと思っていたが、このメモを書いていたページを掃除していた際に行き場所が見つからず、とりあえずここに供養した次第です。わからなくても心配しないでください
)
公式を調べに行ったらいつかは理解できるようになる...かも
理解した