和積の公式の問題を解く
今日和積の公式習ったので応用問題をしてみよう
Discordから引用
sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}2cos\frac{B}2cos\frac{c}2を証明せよ
A=180°-(B+C)よりsinA=sin(π-B+C)=sin(B+C)
sinB+sinC=2sin\frac{B+C}2cos\frac{B-C}2
和積の公式：s+s=2sのc
sin(B+C)=sin\frac{B+C}2cos\frac{B+C}2
倍角の公式：sin2θ=2sinθcosθ
左辺=2sin\frac{B+C}2(cos\frac{B+C}2+cos\frac{B-C}2)
=4sin\frac{B+C}2cos\frac{B}2cos\frac{C}2
加法定理：
cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC
cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC
よってcos\frac{B+C}2+cos\frac{B-C}2=2cos\frac{B}2cos\frac{C}2
sin\frac{B+C}2=sin(\fracπ2-\frac{A}2)=cos\frac{A}2
よってsinA+sinB+sinC=4cosA/BcosB\2+cosC/2