命題と真理値
from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会
命題は「正しいか正しくないか(真か偽か)を判断できる文や式」のこと
Q.「みかんは果物である」は命題か？
命題である
「みかんは果物」に対してはいともいいえの判断ができる
（みかんや果物の定義にもよる）
Q.「みかんは果物ではない」は命題か？
これも命題
「みかんは果物」に対してはいともいいえの判断ができる(天丼)
Q.「みかんとは何か？」は命題か？
これは……どうだろう
プログラムに対して
「1は数字ですか？」と聞くと「はい」か「いいえ」の答えになりそう
"1" なのか 1 なのかで答えは変わりそう「1は何ですか？」と聞くと……型の種類を答えてくれそう
あれ？これも一応「はい」「いいえ」になってる？
「1の型は何ですか？」と聞かないと答えてくれなさそう
「くれそう」で話を進めていくのはダメだな。やめておこう
「何か？」という場合回答者が答えを用意しないといけない感じがある
>xは変数とします.次に示す文や式は，命題ではありません.
> 「x+1=2」, 「xは赤い」
>なぜなら，これらの文はxが何であるかが決まっていれば真か偽かを判断できますが，Xが何であるかが決まらないうちは真か偽かを判断できないからです.(p.12)
なるほど
このように「変数を含んでいて、変数が確定すれば真偽を判定できる文や式」を述語という、とのこと
どこかで見たぞ！
「みかんとは何か？」は命題ではなく述語、ってことかな
違う
「みかんとは何か？」はそもそも「真」とか「偽」とか判断できない
「xは果物か？」これは述語
「みかんはXか？」これも述語
なるほど
Q. 「みかん」は命題か？
命題ではない
「みかん」については、はいともいいえとも言えない
「🍊←これはみかんですか？」は命題になれる
君はヒーローになれるみたいな言い方になった
ヒロアカは外伝含めて溜めエピソードが非常に長い印象がある
真理値は「命題が真であるか偽であるかの情報」のこと
命題であることと、それが真であるかどうかは別の問題(p.13)
整数の範囲において
1+1=2も1+1=3も命題である
1+1=2は真の命題
「真」であることを記号Tで表す
\topもつかったりする
何時までやるか決めよう(提案)
すまん緊急でsettings弄るつもりがさっそく脱線してしまった
退出します
コメント多謝！
1+1=3は偽の命題
「偽」であることを記号Fで表す
\botもつかったりする
T→\top→その反対で\bot、という由来？
論理演算子と真理値表
命題pとqを論理演算子で結びつけた文も、命題となる
論理演算子
論理積\land：「かつ」
p\land q：pかつq
pの真偽、qの真偽、そしてそれを組み合わせたpかつqの真偽がそれぞれあるってわけだな
集合でいう共通部分
例えば……なんだろう
「
はポケモン」\land「はくさタイプ」はTだな
ポケモンだしくさタイプである
「はポケモン」\land「は準伝説」はFだ
前は「真」だけど後が「偽」
「は立つ」\land「はくさタイプ」は……？
前者がわからない！(未プレイ)
真理値表
| A | B | A∧B |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
論理和\lor：「または」
p\land q
命題pかqのいずれかが「真」であれば「真」となる
集合でいう和集合
例
「
には小麦粉が入ってる」\lor「
には小麦粉が入ってる」はT
「には小麦粉が入ってる」\lor「はほのおタイプ」はT
前者の命題が真だからだ
Fになる場合は？
命題p,qがどっちもFだった場合
真理値表
| A | B | A∨B |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
否定\lnot：「ではない」
命題pに対して「pではない」という文は\lnot pで表す
これも命題
\lnotは\landや\lorよりも優先度が高い
\lnot A \land Bは(\lnot A) \land B
\lnot (A \land B)ではない
命題p「はくさねこポケモン」
命題\lnot p「はくさねこポケモンではない」
pの真理値がわかっている場合、\lnot pの真理値は機械的に決定する
下にある通り
真理値の計算の重要な点
>しかし，ここで重要なのは，真理値表を考えることによって，命題の真理値を，命題そのものの意味を解釈することなく機械的に計算できるという点です.(p.14)
機械的に計算できると何がうれしいのだろう？
そんなことはなかった
例えばこのすこし上ではいちいち例文を考え、その例文ひとつひとつの真理値について解釈に立ち入っていた
真理値表を使うとそれをスキップできる？
単に四則演算を機械的に計算できることと同じことを言っているだけだと思う
四則演算するとき、いちいちりんごに置き換えてから計算したりしない
思考が速くなる、自分の変わりに機械に任せられる
例として命題\lnot (p\land \lnot q)の真理値表の作り方が載ってる
真理値表
| p | q | ¬q | p∧¬q | ¬(p∧¬q) |
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | T | F |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
1. pとqのすべてのパターンを書いた
2. qを反転して¬qを埋める
3. p∧¬qを埋める
∧のなので、pも¬qもTのときだけTになる
4. (p∧¬q)を反転して¬(p∧¬q)を埋める
おおー、たしかに解釈を挟まずに表が埋まった！
しかもあっている。よかった