一般化(以下の3つは同じことを言っている)

f:A\rightarrow R^mがAの点aで連続であるとは

任意に与えられた正数\epsilonに対して、適当に正数\deltaを取れば、

d^{(n)}(x,a)\lt\delta\Rightarrow d^{(m)}(f(x),f(a))\lt\epsilon

d^{(n)}はR^nにおける距離

Aはfの定義域

f(B^{(n)}(a;\delta))\subset B^{(m)}(f(a);\epsilon)

Bは球体

fが点aで連続であるとは、「任意の正数\epsilonに対して、適当に正数\deltaをとれば、aのδ近傍の像がf(a)の\epsilon近傍に含まれる」を満たすことである

写像の世界

p\in Xに対し、\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)が成り立つ時、fはpで連続であるという

fはX\in R^n,Y\in R^m としたときのf:X\rightarrow Y

ε-δ論法を用いた定義

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x [ | a - x | < \delta \Rightarrow | f(x) - f (a) | < \epsilon]

位相の世界

写像f(x)が次式を満たすとき、f(x)はx=aで連続であるという

\forall E\in\mathbb{B}(f(a))\quad\exist D\in\mathbb{B}(a)\quad\forall x[x\in D\Rightarrow f(x)\in E]

\mathbb{B}(a)はaの開近傍全体の集合

参考

p.111

参考