自然性の公理の図を用いて可換性を証明する

水平線の上下の一対一対応を利用する

問題設定

圏\mathscr{A}内の可換性を示したい

関手F(の逆)、または関手Gで写した圏\mathscr{B}内の可換性を示す

図の特徴

左側の頂点、辺は全て\mathscr{A}の対象、射

赤の部分

右側の頂点、辺は全て\mathscr{B}の対象、射

青の部分

左右を接続する辺は関手F,Gのいずれか

緑の部分

手順

圏\mathscr{A}内の可換を示したい図を書く

FまたはGで\mathscr{B}に写す

ここでいくつかの候補があるので用いやすいものを選択する

例 GFB_1を写したものを考えたときに、

Fによって写したもの、Gによって写されたもの、の2通りが取れる

\mathscr{B}内の可換を見ることで、自動的に\mathscr{A}のものも示される

示す流れ

示したいもの

B_1\to B_2\to B_3

=

B_1\to B_4\to B_3

転置関係により得られるもの

成り立っているもの

赤=黄

実際に使って証明しているものの例