積の普遍性の証明

ある圏\mathscr{A}とその対象X,Yに対して

X\leftarrow X\hat{\times}Y \rightarrow Y

X\leftarrow X\overline{\times}Y\rightarrow Y

のような関係\hat{\times}と\overline{\times}があるとして、これらが共に積ならば、 X\hat{\times}Y \cong X\overline{\times}Yである

つまり、圏\mathscr{A}の対象X,Yにおける積の関係は、同型を除いて一意である

ということを証明する

上の2つの関係をもう片方に適用したものを考える

X\hat{\times}Yと X\overline{\times}Yが同型であることを示すためには、同型の定義を満たせば良い

つまり、f,gが同型射であればいい

つまり、

f,gが互いの逆射であり、

g\circ f=\mathrm{id}_{X\overline{\times}Y}かつf\circ g=\mathrm{id}_{X\hat{\times}Y}

を満たせばいい

上の2つの図を重ねたものを考える

これをちょっと書き換えると以下になる

すると、f\circ g=\mathrm{id}_{X\hat{\times}Y}が言える

図を少し書き換えることで、同様にしてf\circ g=\mathrm{id}_{X\hat{\times}Y}が言える

よって、同型射が存在するので X\hat{\times}Y \cong X\overline{\times}Y

参考

『圏論の歩き方』 pp.25-26

/mrsekut-book-432011454X/047にも別の照明が載っている