冪と関数適用
普通の関数適用と冪の関係を見てみる
「関数適用」を以下の要素で見る
全ての関数全体の集合 入力全体の集合 出力全体の集合 関数適用とは以下の組み合わせである
(
全ての関数全体の集合 x 入力全体の集合 )→ 出力全体の集合 一つの関数を選んで、一つの入力を選べば、一つの出力が得られる
X,Yは圏\mathscr{A}の対象
Y^Xが冪
上の説明との対応
| X | 入力全体の集合 | |
| Y | 出力全体の集合 | |
| Y^X | 全ての関数全体の集合 | この要素が関数fになる |
evalは関数適用を表す射
つまり、「関数」である射、よりメタ
Aの部分は\mathscr{A}の任意の対象
射aのところの存在意義？がわからない
a:X\times A\to Yはなに？
ここで2引数関数を考える
2つの引数を取る関数fを考える
f: X\times Y\to Z
hs f :: X -> Y -> Z
f = undefinedfをカリー化することを考える
hsf :: A -> B -> C -- A -> (B -> C) と見る
f = undefined
g :: B -> C
g = f aすると1引数関数の連鎖に変換できる
このカリー化も圏論的に考えることができる
まずは2引数関数f:X\times Y\to Zがある
これを、↓こうする！
直感的になるように少し順序を入れ替えている
可換図式の意味としては、実線がある状況の下で、点線にあたる唯一の射が存在する、ということだ
つまり、\mathrm{eval}\circ (f'\times 1_Y)=fが成り立つような射f':X\to(Y\to Z)が存在する、ということを主張している
fもf'も同じ関数ではあるけど、引数に対する意識が異なる
これはカリー化そのものだ
3引数も考えてみる
hsf :: W -> X -> Y -> Z
g :: X -> Y -> Z
h :: Y -> Z
どうにかもっときれいに書けないものか
こういうこと？
点線の位置が変わっている
Haskellのuncurry関数は、2引数関数を一つのタプルを取る関数に変換する
Haskellはカリー化がデフォルトなのでuncurryするなら、タプルを取るしかない
hsuncurry :: (a -> b -> c) -> (a,b) -> c
times = uncurry (*)
times (3,4) -- > 12これは随伴の例なんだね。全然わかんねえや
参考
『圏論の道案内』 pp. 190-195