S_nを規格化すると、n\to\infinとしたとき、S_nの確率分布はN(0,1)に弱収束する

S_nは標本の和

前提

X_1,\cdots,X_nは独立同分布な確率変数

E(X_1)=m、V(X_1)=v

S_n=X_1+\cdots+X_n

このとき

\sqrt{\frac{n}{v}}(\frac{S_n}{n}-m)=\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}の確率分布n\to\infinのとき、N(0,1)に弱収束する

ここで「弱収束する」とは

任意の融解連続関数f(x)に対して以下が成り立つことを言う

\lim_{n\to\infin}E(f(\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}))=\int^\infin_{-\infin}f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx

これの右辺、正規分布の確率密度関数だよね？

これ合ってるの？

これは以下と同値

任意のa\lt bに対して

\lim_{n\to\infin}P(a\lt\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}\lt b)=\int^b_a\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx

やっていることの意味

n\to\infinのとき

\sqrt{\frac{n}{v}}\to\infin

\becausevは定数

(\frac{S_n}{n}-m)\to0

になるが、これらを掛けたときどうなるか、というのを見ている

やっていることの意味2

\sqrt{\frac{n}{v}}(\frac{S_n}{n}-m)=\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}は、S_nを規格化したもの

つまり、平均0, 分散1の確率変数になる

補足

E(\frac{S_n}{n}-m)=0

E((\frac{S_n}{n}-m)^2)=\frac{v}{n}