N(\mu, \sigma^2)

平均\muと標準偏差\sigmaで形が決まる

平均から±1標準偏差の範囲

この範囲にデータの約68%が含まれる

平均から±2標準偏差の範囲

この範囲にデータの約95%が含まれる

平均から±3標準偏差の範囲

この範囲にデータの約99.7%が含まれる

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left\{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right\} \quad(-\infty<x<\infty).

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1.

\deltaをb倍すると、グラフは横方向にb倍広げられ、縦方向に\frac{1}{b}倍に縮まる

普通に考えたらわかる\frac{1}{\sqrt{2 \pi b^{2} \sigma^{2}}} \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2 b^{2} \sigma^{2}}\right\}=\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left\{-\frac{\left(\frac{x}{6}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right\}=\frac{1}{b} g\left(\frac{x}{b}\right)

正規分布表を用いて確率を求める

X\sim N(\mu, \sigma^2)の時の確率、P(a\lt X\le b)は分布表を見ればわかる

与えられる分布表にもよるが、aのときの値からbのときの値を引くとか

じゃあ例えばX\sim N(-3,15)のときの確率、P(1\lt X\le5)を求めよ、とあればどうするか

まず標準化してZ=\frac{X-(-3)}{\sqrt{15}}\sim N(0,1)に直す

すると、確率の範囲も変わるので、P\left(\frac{1+3}{\sqrt{15}}<\frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{5+3}{\sqrt{15}}\right)として、考える