任意の正方行列Aに対して、ある正則行列Pが存在してP^{-1}AP=Jの形で表現できる

Jはジョルダン標準形

任意の行列Aに対してジョルダン標準形は一意に決まる

Aと相似である形P^{-1}APが欲しいが、いつでも対角化できるわけではない

が、それに近い形であるジョルダン標準形はいつでも得られる

うれしい！

という感じのモチベーション

例

A=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 3&0&3 \\ -4&3&6\end{pmatrix}に対して、P=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 0&3&-1 \\ 1&0&1\end{pmatrix}とすると、P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}

ジョルダン標準形

上図全体

書かれていない部分の成分は全て0

ジョルダンブロックを対角にならべたもの

ジョルダンブロック

上図の中の一つ一つの四角形が

対角成分が同じ値\lambda

その\lambdaのひとつ上に1が乗っかっている

それ以外の成分は全て0

ジョルダンブロックの個数の例

1つ

2つ

3つ

4つ

求め方

まず特性方程式\operatorname{det}(A-\lambda I)=0を解いて\lambdaを求める

各固有値\lambdaについて\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(A-\lambda I)を求めたい

ので、次元定理により、n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)を求める

Aはn\times nの行列

この値が[* その固有値\lambdaの]ジョルダンブロックの個数になる

この値は固有空間の次元

2つの固有値が虚数\lambda_1,\lambda_2= \alpha\pm i\betaならジョルダンブロックは\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ -\beta&\alpha\end{pmatrix}

例えば、3\times 3の行列Aの固有値\lambda_1, \lambda_2,\lambda_2の時、

\lambda_2にたいして\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(A-\lambda_2 I)がわかれば求まる

この値が1なら、\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2\end{pmatrix}

\lambda_2に対するジョルダンブロックが左下2\times2の一つ

この値が2なら、\begin{pmatrix}\lambda1&0&0 \\ 0&\lambda_2&0 \\ 0&0&\lambda_2\end{pmatrix}

\lambda_2に対するジョルダンブロックが真ん中と右下の1\times1の2つ

参考