hom屈曲
2020/4/14
hom函手\hom_C\colon C^\mathrm{op}×C→\mathbf{Set}の左側で
Cが「折り畳まれて」いる
折り目にあたる上辺を考えたい
名前ありそう……
2020/4/15
たぶん、何かしらの随伴関係における転置、反転置に相当する
定義
局所的に小さい圏C,Dにおいて
対象a \in \operatorname{Obj}(C)のhom屈曲
a_♯\colon 1_\mathbf{Set} → (a,a).\hom_C
\colon *\mapsto a^\circ
射h\colon a→bのhom屈曲
h_♯\colon 1_\mathbf{Set} → (a,b).\hom_C
\colon * \mapsto h
函手F\colon C→Dのhom屈曲
hom函手の自然変換
F_♯\colon \hom_C⇒(F^\mathrm{op}×F)\hom_D
適用は写像
(a,b).F_♯\colon\hom_C(a,b)→\hom_D(a.F,b.F)
h;;(a,b).F_♯=h.F
h_♯;(a,b).F_♯=(h.F)_♯
自然変換\alpha\colon F⇒G\colon C→Dのhom屈曲
自然変換
\alpha_♯\colon \hom_C⇒(F^\mathrm{op}×G)\hom_D
適用は写像
(a,b).\alpha_♯\colon\hom_C(a,b)→\hom_D(a.F,b.G)
h;;(a,b).\alpha_♯=h.\alpha
=a.\alpha;h.G=h.F;b.\alpha
h_♯;(a,b).\alpha_♯=(h.\alpha)_♯
性質
ただし、
1^\mathrm{op}×1=1
\hom_1(*,*)=1_\mathbf{Set}
F,G\colon C→D,F',G'\colon D→E
\alpha\colon F⇒G,\alpha'\colon F'⇒G'について
(FF')_♯=F_♯;(F^\mathrm{op}×F)F'_♯
(\alpha F')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)F'_♯
(F\alpha')_♯=F_♯;(F^\mathrm{op}×F)\alpha'_♯
(\alpha \alpha')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)\alpha'_♯
射のhom屈曲のスライディング性
hom函手のスライディング性を用いれば
射のhom屈曲は
対象のhom屈曲とhom写像の結合
h\colon a→bについて
h_♯=b_♯;(h,b).\hom_C
=a_♯;(a,h).\hom_C
自然変換のhom屈曲は
函手のhom屈曲と自然変換、hom函手の結合
\alpha\colon F⇒G\colon C→Dについて
\alpha_♯ =G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D
=F_♯;(F^\mathrm{op}×\alpha)\hom_D
に帰着する
hom屈曲は一対一の対応
逆変換としてhom反屈曲