自然変換のhom屈曲のスライディング性
自然変換のhom屈曲は
函手のhom屈曲と自然変換、hom函手の結合
\alpha\colon F⇒G\colon C→Dについて
\alpha_♯ =G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D
=F_♯;(F^\mathrm{op}×\alpha)\hom_D
に帰着する
証明
{}^\forall h\colon a→b
h;;(a,b).\alpha_♯
=(h.G);;(a.\alpha,b.G).\hom_D
=(h.F);;(a.F,b.\alpha).\hom_D
=h;;(a,b).(G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D)
=h;;(a,b).(F_♯;(F×\alpha)\hom_D)
任意の要素について等しいので写像として等しい
(a,b).\alpha_♯
=(a,b).(G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D)
=(a,b).(F_♯;(F×\alpha)\hom_D)
さらに、コンポーネントが等しいので、自然変換として等しい
\alpha_♯ =G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D
=F_♯;(F^\mathrm{op}×\alpha)\hom_D