hom函手
hom functor
定義
局所的に小さい圏Cにおいて
hom函手\hom_C \colon C^\mathrm{op}×C→\mathbf{Set}
対象
(a,b)を
hom集合 \hom_C(a,b)へ
射
(f,g)\colon (a,b)→(a',b')を
つまりf\colon a'→a,g\colon b→b'
写像へ\hom_C(f,g)\colon \hom_C(a,b)→\hom_C(a',b')
\colon (h\colon a→b) \mapsto f;h;g
性質
写像の性質: hom函手のスライディング性
定義よりとくに
h=b^\circ;;(h,b).\hom_C
=a^\circ;;(a,h).\hom_C
よってhom函手は「小さい圏」の圏に含まれない
図式による表示
hom函手
局所的に小さい圏の圏のデカルト積についてのP-1図式（射が函手なのでP-F図式と呼ぶべきか）
上２つを合わせたP-F-N立体図式
射への適用
シャープ格上げを用いて
f\colon a'→a,g\colon b→b'
\hom_C(f,g)=(f,g).\hom_C
F-N
P-F
P-F-N
要素
Cの射h\colon a→bは
h\in \hom_C(a,b)
大域要素に一対一対応する
これは\mathbf{Set}の射
h_♯\colon 1_\mathbf{Set} → (a,b).\hom_C
記号を使って明示的に書いた
F-N
P-F
P-F-N
hom写像
定義より
h;;(f,g).\hom_C = f;h;g
P-F-N
とくに
h=b^\circ;;(h,b).\hom_C
=a^\circ;;(a,h).\hom_C
