Bluemo微分積分ノート
大学一年前期の授業
Chapter 10.
f(x,y)みたいなやつ
ℝ^2\to ℝの写像とも言える
こういう関数ならこう言う3Dグラフ形状、というパターンが色々
f(x,y)=ax+by+cは平面
これは、平面をベクトルで定義したやつ（高校）でいける
f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})は回転面
回転面は壺みたいなイメージ、何かのグラフを回転して作れる立体
gには原点から(x,y)への距離が突っ込まれている
からので、原点から同じ距離の座標なら同じ出力
f(x,y)=g(x)は、柱面
これはまあ想像しやすいな
f(x)=x^2+y^2: 回転放物面
f(x)=x^2-y^2: 双曲放物面
まあそりゃそうって感じの形状
f(x,y)=px^2+qxy+ry^2を考える
これを平方完成すると、k(x+y)^2+ly^2みたいな形になる
ここで、X=x+y, Y=yの新しい座標系を考えれば、kX^2+lY^2という形式でまとめられる
なるほど〜
線形代数を学ぶともっと複雑な式も↑の形式にまとめられると言っていた
2次形式がまさにそれですね
座標系を変えてるので歪んだ形ではあるけど
Chapter 6.
高校の時の方程式: 代数方程式
x^2+x+1=0、みたいな
微分方程式
y''+y'+y=0みたいな
力学でも言ってた
代数方程式と違い、微分方程式の解は関数になる
関数の代数が定義できれば、関数の代数方程式みたいなのも定義できそうだな
関数の合成を積とするなら、f(f(x))+f(x)+1=0みたいな感じで
解としてはf(x)=-x-1がありますね
明らかにf(f(x))=x=-f(x)-1が成り立つ
「関数の代数方程式」は恐らく関数方程式のことを言いたいのかな？と思いました
関連: 多項式環かな？
用語は自習
一階常微分方程式
常微分ってなんだ
変数が一つの高校までの微分のことか
y'=f(x)g(y)という物を、変数分離型と呼ぶ
これは高校でやった
微分の計算が楽なやつか
yを左辺、xを右辺に寄せて積分すればいいだけ
注意: 1/yが登場する場合、y=0のケースも考える必要がある
変数分離型でない場合はIntegrating Factor Methodでやるやつ
これ知らない用語だ
一階斉次線型微分方程式
n階線形微分方程式とは
yと、そのn階微分の式と、定数しか出てこない様な式?
なぜこれを線形と呼ぶのかいまいち掴めていない
TODO: 何が線形性を持っている?
ヒント：y''+ay'+by=0\iff\begin{pmatrix}y'\\y\end{pmatrix}'=?
n階斉次線形微分方程式とは
>すべての項が未知関数を含むか 0 であるような線型微分方程式
xのみの項が存在しない時、斉次微分方程式であると言う?
3.2 一階斉次線型方程式の解法
自習する
Chapter 5.
高校までの範囲
（厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない）
単調にもいろいろあるんだな
\forall x\in A\forall a<x;f(a)<f(x)くらいしか知らない(これは狭義単調増加の場合)
その不等号が等号を含むと問題が起きる
右だとf(a)とf(b)がイコールだから逆写像を作る時にaにしたらいいのかbにしたらいいのかわからなくなる
なんだ。等号の有無だけだった
もちろん大事な違い
なるほど
この言い方の方が好き
「狭義」って相対的な表現だし、名前だけ見ても意味がわからない
てっきり一様連続みたくいろんな種類があるのかと思った
実数の場合は定義域が決まっているから大丈夫
\exp:\R\to\R_+
\ln:\R_+\to\R
補足：\R_+:=\{x\in\R|x>0\}
これなら定義域の範囲で狭義単調関数、という事か
複素数に拡張するとアウト
これは/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化で悩んだポイント
なつかしい
三角関数 <-> 逆三角関数(arcsinとか)
こっちも同様の理由で定義域を制限する
なのでarcsinとかは定義域限られる、という話
これはIBで既習
微分の計算も、公式は導出できる
y=arcsinxの時にsiny=xなので、dx/dyを求めてからひっくり返していじくり回す
sinh, cosh, tanh
逆数関数もsech, csch, cothとかいう
\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
\tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
なんか見覚えがある気がする
xのところにiを混ぜると円の三角関数になるとか？
そういうことです
iが回転を司っている
だから双曲線関数にiを入れると回転し、三角関数からiを抜くと回転しなくなる
なるほど
ただ、これは知らなかったので既視感の正体は違う気がする
ただの気のせい?
数IIIの二次曲線でもしかした見覚えあるかも？
あとは分数関数の積分でも出てくるかもしれない
これな気がする
指数表記された三角関数を微積分してみる？
\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}系は面白い
なんだこれ、なぜ三角関数っぽく書く?
対称性/関係がまだ見えない
性質がにている
\cos^2x + \sin^2x=1 / \cosh^2x - \sinh^2x=1
逆やん
ピッタリ逆ってのはある意味すごく似てるのでは
他の公式も全部符号が逆なら似ていると感じるが、そうでもなさそう
逆なのは円関数(三角関数のこと)と双曲線関数の定義を比較するととても、それはそれはとてもとてもよくわかります
性質より根本の定義を確認するとしっくりくる予感はしている
形はそこまで似ていない?
近似しているとかでは無いのね
面白いぞ～この辺りは
発展する話題を投げておこう
\mathrm{Re}(z):=\frac{z+z^*}{2}、\mathrm{Im}(z):=\frac{z-z^*}{2i}の演算法則
\frac{x+x^{-1}}{2}、\frac{x-x^{-1}}{2}の演算法則
三角関数のもろもろの性質の、どれがeの効果でどれがiの効果なのか、どれが\frac{a\pm b}{2}の効果なのかがよく分かる
>三角関数と双曲線関数は複素数に広げるとつながる
>三角関数と双曲線関数の関係は，テイラー展開によって得られた巾級数を複素数の範囲で考察することによって，より明瞭に理解される。
詳しくは後でと言われた
え〜〜
周辺は以前調べたから自習できそう
なるほど!!!
オイラーの公式を用いた三角関数の表現と同じ形になるのか
\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
cosはixをzで置き換えてるのね
三次元のcoshグラフを、虚数軸に並行/実数軸に垂直な面で切り取ればcos(x)グラフが得られる?
そうみたい
全部のcosh(z)に対して実数が返ってくるわけでは無いのか
cosh(z)の値を全部描くなら四次元プロットが必要
双曲線関数の気持ちは理解できた気がする
これを元に双曲線関数の法則を三角関数ベースで書けば分かりそう
双曲線関数と三角関数の法則を両方expで書き出すともっと良い?
感想
授業中に書き込みが編集されると集中できない可能性はありそう
一回やってみて検証してみたい
……もしかしてリアルタイムで授業中でした？
ですw
なんかすみません
Bluemo微分積分ノート#626f7a1b79e1130000f00d60ので全然大丈夫です🙏
人のこと言えなくて震えてるMijinko_SD.icon
面白い
悪くなかったので続けてみる
てか今日授業あるんだ
水木だけ休みです
もしかしてうちも授業あったりして
予備日でした
ここに書いたノートを後で/blu3moにコピペしようと思っていたけど、そうすると行リンクが壊れるのか
困る