337をガウス整数の積に分解する
from 2022/03/15
337はもっと割れるだろうか？
>337は68番目の素数である
ってWikipediaに書いてあった
ありゃりゃ。割れませんでしたか
複素数に拡張したら割れるかな？
(a+bi)(c+di)\in\R
\iff ad+bc=0
\begin{vmatrix}a&-c\\b&d\end{vmatrix}=0\land\begin{vmatrix}a&b\\d&c\end{vmatrix}=337の整数解が存在もしくは存在しないことを証明するという問題に帰着できる
行列式だとわかりづらいか
\begin{dcases}ad+bc=0\\ac-bd=337\\a,b,c,d\in\Z\end{dcases}
これが解ければいい
方針
とりあえず変数を一つ減らせるな。そこまでやってから考えてみるか？
ざっと暗算したら行けそうだったのでやってみる
\begin{dcases}ad=-bc\\adc-bd^2=337d\\a,b,c,d\in\Z\\d\neq0\end{dcases}\lor\begin{dcases}b=0\lor c=0\\ac=337\\a,b,c\in\Z\\d=0\end{dcases}
右は(a,b,c,d)=(337,1,0,0),(1,337,0,0)しかないので除外する
\begin{dcases}ad=-bc\\-b(c^2+d^2)=337d\\a,b,c,d\in\Z\\d\neq0\end{dcases}
あー、a^2をかけないとdが消えないのか
\begin{dcases}ad=-bc\\-b((ac)^2+(ad)^2)=337a^2d\\a,b,c,d\in\Z\\d\neq0\land a\neq0\end{dcases}
a=0の場合はd=0と同じ結末になったのではずした
\iff \begin{dcases}ad=-bc\\c(a^2+b^2)=337a\\a,b,c,d\in\Z\setminus\{0\}\end{dcases}
途中計算
-b((ac)^2+(bc)^2)=-337abc
\iff c^2(a^2+b^2)=337ac
\iff c(a^2+b^2)=337a
a\neq0\land d\neq 0\implies ad\neq0\implies b\neq0\land c\neq0を使った
この時点でa^2+b^2\equiv0\pmod{337}が確定した
2次不定方程式ってどうやって解くんだろう？
ペル方程式の解法を使う？
\xcancel{\forall x\in\Z;0\le x^2\ \mathrm{mod}\ 377\le 19}
\xcancel{\because 19^2<377<20^2}
\forall x\in\Z;0\le x^2\ \mathrm{mod}\ \xcancel{377}337\le 19^\textcolor{red}{2}=\textcolor{red}{361}じゃん
数学のきもち何もわかっていなかった……
所詮数学
した程度だった
377ではなく337なのでは
あっ
もうだめだあ……
あ、そっか。377は素数だから、x^2\equiv 0\implies x\equiv 0なのか
これってもしかして解が存在しない？
\because 0\le (a^2\ \mathrm{mod}\ 377)+(b^2\ \mathrm{mod}\ 377)\le 19+19=38<337
どうがんばってもa\equiv b\equiv0以外当てはめようがない
なんか悔しいので、一般的にガウス整数の積で表せる素数の条件を求めたい
問題：
\forall p\in\Bbb{P}(\exist a,b,c,d\in\Z\setminus\{0\}(p=(a+bi)(c+di))\iff Q(p))
を満たす条件Q(p)を求める
pが2整数の平方和で表せること？
いや、\exist a,b,c,d\in\Z\\\begin{dcases}ad+bc=0\\ac-bd=p\end{dcases}ということです
ガウス整数#62333d9f1280f0000096a7aaは\forall z\in \Z_c \ \exist p_0,p_1,\cdots,p_n \in \Bbb{P}_c;z=\prod_{0\le i\le n} p_iなので違います
任意のGauss整数ではなく、任意の素数がGauss整数の2つ以上積で表せることを示したい
\Z_c:=\text{Gauss整数}=\{z\in\Bbb{C}|\exist a,b\in\Z;z=a+bi\}
\Bbb{P}_c:=\text{Gauss素数}\subset \Z_c
素数はGauss整数なのでは
ガウス整数#62333d9f1280f0000096a7aaは1つ以上の積ということだと思います
そうなのか
なおここまで意地でもwikipediaみてない
さすがに齟齬が生じそうだから、変な意地張らないで読むか
1やi \cdot (-i)との積と思えば2つ以上にできるが…
単数以外の2つ以上のGauss整数の積で書けるかということ？
まあそんな感じ
論理式が正確じゃなかったので書き直しました337をガウス整数の積に分解する#62333450e5172d0000d521f8
> 有理素数の単数以外による分解は 2 または 4n + 1 型に限られ、その分解はp = (m + ni)(m − ni)の形に限られる
とのこと: ガウス整数 - Wikipedia
ネタバレ
まだ証明はばれてないから大丈夫
あ、自分でやる感じだったのか、すみません
どうせどこかで根負けして答え見るだろうし
極形式ver
337 = re^{i\theta} \cdot se^{i\phi} = rse^{i(\theta + \phi)} \ (r,s \geq 0)
\begin{dcases} rs = 337 \\ \theta + \phi = 2n\pi \ (n \in \Z) \end{dcases}
解は無数にある
あ、実部と虚部が整数じゃないといけないのか
そゆことです
極形式から攻めるアプローチは今回使えないと思ったけど、どうなんだろうか
半径から解の存在範囲を絞り込める？
いや、rs=337だとただの反比例だから、大して絞り込めないか。
整数と相性悪そうだし、無理そう？
337 = 16^2 + 9^2らしい
つまり(16 + 9i)(16-9i)=337だ！
あ、あれ？
\theta + \phi = 2n\pi \ (n \in \Z)より、2つの複素数の積が実数になるのは(定数倍を除き)複素共役のペアしかありえない
絶対値は違ってていい
いや、337をガウス整数の積に分解する#62333450e5172d0000d521d1なので、これだけだと複素共役のペアしかあり得ないことを導けません
n\pi \ (n \in \Z)ならよく、2n\piである必要はないということか
ここちょっと意味がわからなかったです
偏角の和が2n\piに限られるなら、複素共役のペアしかあり得ないと言えるけど、偏角の和がn\piでも実数になるので成り立たないなあということです
偏角がn\piであることと337をガウス整数の積に分解する#62333450e5172d0000d521d1は同値？
素数なので正の実数に限れば2n\piでいいか
16と9は互いに素なので、整数倍の解はなく、解はこれだけか
実部と虚部が共に整数である複素数のことをガウス整数と言うらしい
\Z_c:=\text{Gauss整数}:=\{z\in\Bbb{C}|\exist a,b\in\Z;z=a+bi\}
\text{Gauss素数}:=\{p\in\Z_c|\forall z\in\Z_c((\exists k\in\Z_c;p=kz)\implies z=p,\pm1,\pm i)\}
そうそうそれです
ググりなしの縛りで解いていたので、名前を調べられなかったのです
苦し紛れに「整数係数の複素数」と書いていた
書き直しました
調べていただきサンクスなのです