集合の等しさ
from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会
>2つの集合AとBが持っている要素が同じとき，かつ，そのときに限って，AとBは等しいと定めます.(p.3)
つまり
\forall a \in Aに対してa \in B
かつ
\forall b \in Bに対してb \in A
が成り立つとき、A=Bということ
∀？
すべての という意味翻訳してみよう
>\forall a \in Aに対してa \in B
集合Aに属するすべての要素a に対して 集合Bにaが属する
>かつ
>\forall b \in Bに対してb \in A
集合Bに属するすべての要素b に対して 集合AにBが属する
>が成り立つとき、A=Bということ
なるほど？
A = \{1,2,3\}とB= \{1,2,3\}の2つの集合がある場合、これは等しい
どっちも要素がおんなじだからだ
A = \{2,4,6,8,10,\cdots\}とB= \{2,4,6,8,10\}の2つの集合がある場合、これは等しくない
Aに属している要素{12, 14, ...}がBには属していないから
この場合、Bの要素全部がAの要素でもあるので、BはAの部分集合だといえる
発展：\{1,2,2\}と\{1,2\}は等しい？
おっと問題が生えてきたぞ
持っている要素が同じかどうかで考えればよさそう。個数は上の定義(?)では言及されてない
どちらも1と2を要素に持ってる。でそれ以外の要素はない。
要素はおんなじだと言える
こたえ：\{1,2,2\}と\{1,2\}は等しい
現実の感覚とは異なるが
「現実の感覚とは異なる」というのがヒジョーに大事だと思う
数学だと鶴亀算で鶴と亀の鶴亀要素を捨象して足のみで考える(?)
めちゃくちゃな字面になった
鶴亀という具体から、数という抽象へ移動している
定義の中で是か非かを考える
「現実世界」の物差しを捨てる必要がある
郷に入っては郷に従えの精神？
オセロの世界で囲碁はできないみたいな
つまらない言い回しになるけど、この辺はいわば「定義ゲー」だと思っている
ルール通りに展開するだけ
ちゃんと定義にそって考えている点がすごい
あってます！
集合の等しさ#638aaeb75e90c00000a8b57aにて証明シタマエ！というオーダーが入ったのでやってみよう
使えるルール
> つまり
> \forall a \in Aに対してa \in B
> かつ
> \forall b \in Bに対してb \in A
> が成り立つとき、A=Bということ
\{1,2,2\}と\{1,2\}は等しい？
A= \{1,2,2\},\ B=\{1,2\}
1. \forall a \in Aに対してa \in Bである。
集合Aのすべての要素1, 2は、集合Bの要素である
2. \forall b \in Bに対してb \in A
集合Bのすべての要素1, 2も、集合Aの要素である
上二つが成り立つので、A=B
なるほど