論理同値
from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会
ある命題Aとある命題Bの真理値表が一致するような場合、AとBは論理同値という
すこし前に¬(p∧¬q)が出たが、これと論理同値になる命題はなんだろうな
¬(p∧¬q)
| p | q | ¬q | p∧¬q | ¬(p∧¬q) |
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | T | F |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
∨と∧は反対の関係にあるという話を何処かで見た
ともかく変形してみよう
a
| p | q | ¬p | ¬p∨q |
| T | T | F | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
あっと一回で見つかった
\lnot p\lor qは\lnot(p\land \lnot q)と論理同値
ここでまちがってたらバツが悪い
\lnot p\lor q \equiv\lnot(p\land \lnot q)と書きあらわすらしい
\iffを使うこともある
とはいえ好みの問題でしかないので、意味さえ分かればどちらを使ってもいいと思います
なるほど～
じゃあこの読書会において、論理同値であることを\iffで表現することにしましょ
≡の用例に1.合同,2.定義とあるが、論理同値の場合はどういう解釈になるのかな
=と同義だと思っているが、それならなぜわざわざ≡を使うのかしら
論理同値と「等しい」の意味合いは全く同じですが、対象がちがいます
論理同値は命題(論理式)同士の等しさを表すときに使う
「等しい」は「項」「元」「値」などと言われるもの同士の等しさを表すのに使う
programmingでたとえると、同じ等値比較でも、文字列同士を比較するものと数値同士を比較するものとがあるのと同じ
なるほど
これは論理と集合から始める数学の基礎の方針の問題かも？
実際の解釈を入れてみよう
p「アーマード・コア6が発売決定した」、q「児玉まりあ文学集成が重版した」
めでたいね！
2022/12/09ではpもqもT
cf 時相論理
\lnot p\lor q
アーマード・コア6が発売決定しないか、または児玉まりあ文学集成が重版した
qがTなので\lnot p\lor qもT
\lnot(p\land \lnot q)
「アーマード・コア6が発売決定し、かつ、児玉まりあ文学集成が重版しない」ではない
pかつ¬qがFなので、それを更に否定すればTとなる
\lnot p\lor qと\lnot(p\land \lnot q)両者の命題の真理値は両方ともTだ