複素数計算
\sqrt{i} は?
\begin{aligned}\sout{\sqrt{i}} &\sout{= \left(e^{\frac{1}{2}\pi i}\right)^\frac{1}{2}}\\ &\sout{= e^{\frac{1}{4}\pi i}}\\ &\sout{= \frac{1}{2}\sqrt{2}(1+i)}\end{aligned} 
\left({e^a}\right)^\frac{1}{2}=e^{\frac{1}{2}a}を証明せずに使ったのはまずいな……
wikiによると、この計算は誤り
ややこしすぎ
\lnを使って計算したらどうだろう
\begin{aligned}\sqrt{i} &= \exp\left(\frac{1}{2}\ln i\right)\\ &= \exp\left(\frac{1}{2}( \frac{1}{2}\pi+2n\pi i)\right)\\ &= \exp\left(\frac{1}{4}\pi+n\pi i\right)\\ &= \pm\frac{1}{2}\sqrt{2}(1+i)\end{aligned}
やはり\pmがつくのか
有理数乗って多値函数になっていいのかな？
定義次第な気がする…\sqrt{i}は？よりz^2=iの解は？とかのほうが曖昧にならなくて済みそう
\sqrt{i}が多価関数を表しているのか、その主値を表しているのかは文献によるのですよね……
コンテキストで判断するしかなさそう
根号の主値を\sqrt{x}としたいところ
でないとx^2 = a\ (x,a\in\mathbb{R}_{\ge0})のうち非負値を\sqrt{x}とする定義と自然な整合性がとれなくなる
根号の主値をどう定義しましたか？ 上の記事では「平方根」と「根号」を区別しています
用語を混同してました。すみません
何らかの元に根号をつけたもの、つまり\sqrt{x}のことを示していました
\sqrt{x}を一言で呼ぶ言葉が分からず、適当に「根号」と呼んでしまいました
本当になんて呼べば良いんだろう
ルートxとか平方根の主値とかでしょうか？
これが無難そうですね
xが正の実数なら正の平方根と呼ぶこともあります。
(そしてこれが混乱の諸悪の根源なのだが)それを単に平方根と略したりします。
数学記号・用語の濫用だらけ
で、\sqrt{x}を根号の主値と呼んでいるとしたら、「\sqrt{x}を\sqrt{x}としたいところ」というツッコミになっています。おちついて
一応誤解のないように訂正しておくと、複素数計算#6012e1bc1280f0000015216fは/yanma/根号に対してツッコミする意図で書いたつもりではありませんでした
/yanma/根号を読んで思いついたことを書いただけです
ただツッコミとしか読めない文章になっていました。これは完全にが日本語を間違えていたせいです。すみません。
あとインデントを1段下げていたのもあるかも
根号は実数とか複素数についてるオペレータです。単体で主値を持つことはないと思う
後者なら明瞭なんですけどね……この辺もう一度調べて見る必要がありそうだ
\forall z\in\mathbb{C}\ \left\lbrack z^2=i\iff z=e^{\frac{1}{4}\pi i}\lor z=e^{\frac{5}{4}\pi i}\right\rbrack
\tfrac{5}{4}ですかね？
ナチュラルに間違えましたごめんなさい
極形式で書くと偏角の範囲の話があるから\pm\tfrac{1+i}{\sqrt{2}}のほうが楽な気がする
今回は円のイメージを出したかったので極形式を使いました
なぜ円のイメージを出したかったかは
z^n = 1を解くときに単位円がよく出てくるからかもしれない
記述面では\pm\tfrac{1+i}{\sqrt{2}}と書いたほうが、確かに楽ですね
\begin{aligned}\sqrt{i} &= \left(e^{\frac{1}{2}\pi i}\right)^\frac{1}{2}\\ &= e^{\frac{1}{4}\pi i}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\end{aligned}
こっちも一応2n\piの自由度がある？
ある意味ではありますが、意味のある自由度ではありません。
\begin{aligned}\sout{\because\ }&\sout{\forall z\in\mathbb{C}\ \exist (r,\theta)\in\mathbb{R}^2\ \forall n\in\mathbb{Z};z=r\exp(i\theta + 2n\pi i)}\\&\sout{\implies\forall n\in\mathbb{Z};\sqrt{i}=e^{\frac{1}{4}\pi i + 2n\pi i}}\\&\sout{\implies\sqrt{i}=e^{\frac{1}{4}\pi i}=e^{\frac{1}{4}\pi i + 2\pi i}=e^{\frac{1}{4}\pi i + 4\pi i}=\cdots}\end{aligned}
[- やっていることは\sout{2 = 2\cdot1 = 2\cdot1^2=\cdots}と同じ]
これ違う
自由度が関わるのは、複素数計算#60121328a336820000a1c633のように実数になるケースや、z^6 = 1のような複素方程式です
書いてて\sqrt{\exp(2n\pi i)}=\exp(n\pi i)にならないか悩んでしまった
n = 1のとき\sqrt{\exp(2\pi i)}=\sqrt{1}=1\neq\exp(\pi i)=-1だから、成り立たないのは自明なんだけど
あー、\left(e^a\right)^b=e^{ab}が成立するa,\ bの条件を調べてなかった
\forall (a,b)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Z}なら成り立つだろうけど、\forall (a,b)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}は確実に成り立たない
i^i は?
\begin{aligned}i^{i} &=e^{i \log i}\\ &=e^{i(\pi \frac{i}{2}+2 n \pi i)}\\ &=e^{-\frac{\pi}{2}-2 n \pi}(n \in \mathbb{Z})\end{aligned}
\therefore \exist n\in\mathbb{Z};i^i=e^{-\frac{\pi}{2}-2 n \pi}
\existがついたということは、i^iは一意に値が定まらないのか
まあ\log{i}(多値函数)が式に現れた時点で、その結論は予測できるけど
虚数乗すると実数になるの面白い
あとa^b = \exp{\left(\ln{a^b}\right)} = \exp{\left(b\ln{a}\right)}がとても便利
みんな
\aligned つかっててえらい…少し前までScrapboxで
\aligned は使えなかったはずなんだけど、いつの間にか使えるようになってた \array だと式と式の間隔が狭くなって微妙に見た目が悪くなるような気がして