真理集合
from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会
\{x|P(x)\}で表す
テキストの例
例3.3~3.5
3.3は比較的簡単な例
xの変域を自然数全体の集合\Nとし、自由変数の述語P(x)がx<5を表している
このとき真理集合をAとすると
A=\{x|x<5\}
外延的記法で書くとA=\{1,2,3,4\}
3.4はxの変域によって真理集合の様子が全く異なってくることの例
上のAでいうと
xの変域が自然数全体の集合\NならA=\{1,2,3,4\}となる
でもこれが実数全体の集合\Rなら……どうなる？
これは外延的記法では書けない、無数にある
有理数とその間にあるたっくさんの無理数
A=\{x<5\}？
>一般に, xの変域がUで, 自由変数xについての述語P(x)がxについての方程式であるとき, P(x)をみたすUの要素を, 方程式P(x)の解といいます. そして, P(x)の真理集合\{x|P(x)\}, すなわち, 方程式P(x)の解全体の集合を, 方程式P(x)の解集合または解空間といいます. (p.27)
例えばxの変域が実数全体の集合\Rで、自由変数xの述語を「x^2-2x+1=0」とする
このときの真理集合は\{x|x^2-2x+1=0\}
外延的記法であらわすと\{1\}
解全体の集合を解集合・解空間と呼ぶので、x^2-2x+1=0の解集合は\{1\}となる
3.6は変域すべてが真理集合となる場合、3.7は変域すべてが真理集合とならない場合
たとえば？
変数xの変域を\Nとして、P(x),Q(x)を自由変数xの述語であるとしよう
このときP(x)がx+1=3、Q(x)がx+4=6だとする
P(x)の真理集合は\{2\}のみ
同じくQ(x)の真理集合は\{2\}のみ
\{x|P(x)\}=\{x|Q(x)\}であるので、両者は同値だといえる
P(x) \iff Q(x)