含意と同値の論理演算子
from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会
含意：\to
条件文の命題を表すときにつかう
例：fooならばbarである
命題p,qがあるときに「p \ ならば \ q」を表すのなら
p \to q
真理値表は次のように「定義される」
p→q
| p | q | p→q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
こういうことかな？
pならばqのとき
pがTでqがFの場合にp→qがFになるのはわかる
pがFの場合にp→qがいつでもTになるのが感覚的でない
「ペヤング 超超超超超超大盛やきそばペタマックスは0カロリー」ならば「ところてんは高カロリー」という文がTになるのが信じられない
信じられないものの、それがTになるということが重要な所
プログラマの数学p.44
>十分に注意して読まなければならないのは、「Aがfalseの場合」すなわち真理値表の下の2行です。Aがfalseの場合、Bの真偽にかかわらずA=>Bはtrueになります。つまり、前提条件であるAがfalseであれば、Bの真偽によらず「AならばB」の値はtrueになるのです。
> これが、論理における「ならば」の定義です。
ちなみにこれは\lnot p \lor qと等しいらしい
¬p∨q
| p | q | ¬p | ¬p∨q | p→q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
p\to q \iff\lnot p \lor q
逆・裏・対偶
命題p\to qに対し
p\to qの逆：q\to p
p\to qの裏：\lnot p\to \lnot q
p\to qの対偶：\lnot q\to \lnot p
対偶の真理値はもとの命題と論理同値
p\to q \iff\lnot p \lor qなので
\lnot q\to \lnot p \iff \lnot(\lnot q)\lor \lnot p
対合律\lnot\lnot p \iff pより
\lnot(\lnot q)\lor \lnot p \iff q\lor \lnot p
交換律p\lor q\iff q\lor pより
q\lor \lnot p \iff \lnot p \lor q
p\to q \iff\lnot p \lor qなので、
p\to q \iff \lnot q\to \lnot p
同値：\leftrightarrow
論理同値とは違う
「pが真ならqも真、pが偽ならqも偽」という場合を表す
p↔q
| p | q | p↔q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
今度こそFFT
(p\land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)とも書けるか