from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会

十分条件と必要条件

変数xの変域をUとして、P(x),Q(x)を自由変数xの述語であるとする

P(x)の真理集合がQ(x)の真理集合の部分集合である場合

は、このようになる

このとき、P(x)はQ(x)の十分条件 (sufficient condition) 、Q(x)はP(x)の必要条件 (necessary condition) である、という

例

変数xの変域を\Nとして、P(x),Q(x)を自由変数xの述語であるとする

P(x)が「x+1=2」、Q(x)が「x^2-3x+2=0」としよう

このときP(x),Q(x)の真理集合は

したがってP(x)の真理集合はQ(x)の真理集合の部分集合である

このとき、P(x)はQ(x)の十分条件、Q(x)はP(x)の必要条件 である

P(x)がQ(x)の十分条件であり、かつ必要条件でもあるときはP(x)はQ(x)の必要十分条件(necessary and sufficient condition)という

これはP(x) \iff Q(x)と同じ

A \to Bを満たすには、Bが真であることが必要なので、Bが必要条件 という覚え方をしている

Aが真の時、Bは真である必要がある。

Bが真の時、Aはなんでも良い。

微妙な覚え方だ

Aを仮定したときに、Bが真である必要がある という言い方もできる

覚え方としては本人が覚えられればなんでもいいけどロジックは微妙だな

「A \to Bを満たすには、Bが真であれば十分」とも言えるので。

あ、そもそも「A \to Bを満たすには、Bが真であることが必要」はFalseだね

AがFalseのときも満たすから。

[" A \to Bを満たすには、Bが真であることが必要なので、Bが必要条件] は、脳内からパッと出てくる言葉で、論理的に正確な説明は、下の二行で説明している

あー、なるほど、理解

「A \to Bを満たすには、Bが真の必要っぽさあるよね〜〜」「わかる〜」

ということね、それはわかる〜