位相の定義式のこと

任意の集合Xにて、(O1)~(O2)を満たす\mathcal O\in2^{2^X}をXの位相と呼ぶ

(O1)X\in\mathcal O

(O2)\forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O

(O3)\forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O

系

(O3)に\mathcal O'=\varnothingを代入すると導かれる

呼び名は色々ある

開集合系の公理位相のいろいろ

/takkerでは開集合系の公理と呼ぶことにする

自然言語で解説すると

1. Xを含む

2. 有限個の\cap演算について閉じている (数学)

積集合に関しては、有限個の集合の交わりしか成り立たないことに注意

無限個の集合の交わりは開集合でなくなる場合がある

e.g. \bigcap_{n\in\N}\rbrack-\frac1n,\frac1n\lbrack=\{0\}は開集合でない

単元集合って開集合じゃないのか？

未証明

3. 非加算無限個の\cup演算について閉じている (数学)

#2025-02-06 17:32:58

#2025-01-29 17:53:12

#2025-01-17 17:15:13