relevance logic、relevant logic、適切さの論理、關聯論理、關聯性の論理

部分構造論理であり矛盾許容論理でもある

部分構造型として、關聯型 (relevance type) が有る

實質含意 (material implication)

古典論理での含意p\to q\iff\neg p\lor q

實質含意の paradox (implicaitonal paradoxes)

\neg p\Vdash p\to q.

q\Vdash p\to q.

嚴密含意 (strict implication)

p\prec q\iff\square(\neg p\lor q).

外延的選言 (extensional disjunction) : 選言の導入p\Vdash p\lor qができる選言。實質含意を導く

內包的選言 (intensional disjunction) : 選言の導入規則が成り立たない選言

內包的選言の一つであるp\lor_s q\iff\square(p\lor q)は嚴密含意p\prec q\iff \neg p\lor_s qを導く

嚴密含意の paradox

\square\neg p\Vdash p\prec q.

\square q\Vdash p\prec q.

嚴格含意 (regorous implication。strenge Implikation)

相關含意 (relevant implication)

變數共有 (variable-sharing)

內包的連言\circ

A\vDash B\to C\iff A\circ B\to C.

構造規則を frame 上で再現する

この弱化 (增 W)を制限する

體系 R

體系 B に以下を追加する

公理と、それに對應して Routley-Meyer frame に導入される規則

(A\to B)\to(\neg B\to\neg A),xyRz\to xz^*Ry^*推論規則を公理に

(A\to B)\land(B\to C)\to(A\to C),xyRz\to x(xy)Rz純粹假言三段論法

(A\to B)\to((B\to C)\to(A\to C)),wxtRz\to x(wy)Rz推論規則を公理に

(A\to B)\to((C\to A)\to(C\to B)),wxyRz\to w(xy)Rz推論規則を公理に

(A\to(A\to B))\to(A\to B),xyRz\to xyyRz

(A\land(A\to B))\to B,xxRxmodus ponens

(A\to\neg A)\to\neg A,xx^*Rx

(A\to(B\to C))\to(B\to(A\to C)).

A\to((A\to B)\to B),xyRz\to yxRzassertion

((A\to A)\to B)\to B,x0Rx

A\lor\neg A,0^*\le 0排中律

以下の公理は持たない

A\to(A\to A),xyRz\to x\le z\lor y\le z體系 R にこの公理を追加すると體系 RM になる

體系 B

最小な關聯論理

公理

A\land B\to A.

A\land B\to B.

(A\to B)\land(A\to C)\to(A\to B\land C).

A\to A\lor B.

B\to A\lor B.

(A\to C)\land(B\to C)\to(A\lor B\to C).

A\land(B\lor C)\to(A\land B)\lor(A\land C).

\neg\neg A\to A二重否定 (否定の否定) の除去

推論規則

A,A\to B\vdash B.

A,B\vdash A\land B.

A\to B\vdash(C\to A)\to(C\to B).

A\to B\vdash(B\to C)\to(A\to C).

A\to B\vdash\neg B\to\neg A.

意味論

Routley-Meyer 意味論 (三項關係意味論 (ternary relation semantics))

組(W,R,*,0)を Routley-Meyer frame とする

Routley-Meyer modelM:=(W,R,*,0,\Vdash_M)は場所\in Wに於ける命題の附値を與へる

場所xで命題Aが眞である事をx\Vdash_M Aと書く

場所xで命題Aが僞である事をM,x\cancel{\Vdash_M}Aと書く

歸結關係\Vdash_Mは、全ての原子命題Aに就いてx\Vdash_M A且つx\le yならばy\Vdash_M A

x\Vdash_M A\land B\iff x\Vdash_M A\land x\Vdash_M B.

x\Vdash_M A\lor B\iff x\Vdash_M A\lor x\Vdash_M B.

x\Vdash_M A\to B\iff\forall y,z(xyRz\land(y\Vdash_M A\to z\Vdash_M B)).

場所xで命題A\multimap Bが成り立つとは、三項關係xyRzを滿たす全ての場所y,zに於いて場所yで命題Aが成り立たない若しくは場所zで命題Bが成り立つ事x_{\in W}\vDash A\multimap B\iff \forall y,z_{\in W}(xyRz\land(y\vDash A\to z\vDash B))を言ふ

嚴密含意は Kripke frame である二項關係Kを用意してx_{\in W}\vDash A\prec B\iff\forall y_{\in W}(xKy\land(y\vDash A\to B))と意味附けできる

x\Vdash_M\neg A\iff x^*\Vdash_M A.

Kripke frame と同樣に、Routley-Meyer frame 上の關係の滿たす條件が論理の公理に對應する

de Morgan monoid に依る代數意味論

組(D,\land_{:D\times D\to D},\lor_{:D\times D\to D},\neg_{:D\to D},\circ_{:D\times D\to D},e_{\in D})を de Morgan monoid とする

含意をx\le(y\multimap z)\iff x\circ y\le zで定義できる

命題から de Morgan monoidDへの對應vを以下で定義する

v(\neg A)=\neg v(A).

v(A\lor B)=v(A)\lor v(B).

v(A\land B)=v(A)\land v(B).

v(A\multimap B)=v(A)\multimap v(B).

命題Aが意味論的に妥當であるとは、體系から全ての de Morgan monoid への全ての對應vに於いてe\le v(A)が成り立つ事を言ふ

作用素意味論 (半束意味論)x_{\in K}\vDash A\multimap B\iff\forall y_{\in K}(y\vDash A\to x\circ y\vDash B)

Urquhart models

Humberstone models