行列
matrix
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ \pi & -5 \\ 125 & e \end{matrix}\right)
こっちでもOK
A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ \pi & -5 \\ 125 & e \end{matrix}\right]
要素 (element) : 1, \piなどの各要素
a_{\mathrm{row}, \mathrm{column}}で各要素を指す
a_{2, 1} = \pi
行 (row)
列 (column)
dimension、型(type)、サイズ: \mathrm{row} \times \mathrm{column}
上の例だと3\times 2
拡大行列(augmented matrix)
方程式は拡大行列で表すことができる
記号を省略できる→方程式のショートハンドとしてみることができる
変数と定数を揃える
2x + 5y = 10
3x + 4y = 24
\mathrm{augmented\ matrix} = \left(\begin{matrix} 2 & 5 & 10 \\ 3 & 4 & 24 \end{matrix}\right)
行基本変形
Switch any two rows
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right)
a_1 \leftrightarrow a_2 : 一行目と二行目を相互に入れ替える
A = \left(\begin{matrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right)
Multiply a row by a nonzero constant
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right)
3a_2 \rightarrow a_2: 2行目を3倍したものを2行目と入れ替える
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 12 & 15 & 18 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right)
Add one row to another
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right)
a_1+ a_2 \rightarrow a_1: 1行目と2行目を足したものを1行目と入れ替える
A = \left(\begin{matrix} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right)
A = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)
同じサイズの行列は加算・減算ができる。
\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18\end{matrix}\right)
スカラー倍
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right) 2A = \left(\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{matrix}\right)
零行列
要素がすべて0の行列
O = \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)
型を明記
O_{2,3} = \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)
零行列は行列演算で実数の演算における0と同じような役割を果たす
行列Aと行列-Aの和は零行列になる
A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right)-A = \left(\begin{matrix} -1 & -2 & -3 \\ -4 & -5 & -6 \end{matrix}\right)
A + (-A) = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} -1 & -2 & -3 \\ -4 & -5 & -6 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) = O
ある行列にスカラー0をかけると零行列になる
行列の加法
行列A , B, Cの型が同じ時、行列の和について次の性質が成り立つ(Oは零行列)
結合法則:
A + (B + C) = (A + B) + C Additive inverse property: A + (-A) = O
Closure property of addition: A+B is a matrix of the same dimensions as A and B.
行列A , Bの型が同じで、c,dがスカラーであるとき、スカラー倍について次の性質が成り立つ
分配法則:
c(A + B) = cA + cB,
(c+d)A = cA + dA Multiplicative properties of zero: 0 \cdot A = O, c \cdot O = O
Closure property of multiplication: cA is a matrix of the same dimensions as A.
行列の乗法
>一般に「行列の乗法」は幾つかの異なる二項演算を総称するものと考えることができる
>行列の乗法の持つ重要な特徴には、与えられた行列の行および列の数（行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの）が関係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが挙げられる。行列の乗法 - Wikipedia
2つの行列の積
行列の積を考えるとき、
n\mathrm{-tuple}(
タプル)の
ドット積として考えることが役に立つ
A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\right] \leftarrow \left[\begin{matrix} a_1 & a_1 \\ a_2 & a_2\end{matrix}\right] a_1 = (1, 2),\ a_2 = (3, 4)
B = \left[\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{matrix}\right] \leftarrow \left[\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_1 & b_2\end{matrix}\right] b_1 = (5,7),\ b_2 = (6,8)
A \cdot B = \left[\begin{matrix} a_1 \cdot b_1 & a_1 \cdot b_2 \\ a_2 \cdot b_1 & a_2 \cdot b_2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} (1, 2) \cdot (5, 7) & (1, 2) \cdot (6, 8) \\ (3, 4) \cdot (5, 7) & (3, 4) \cdot (6, 8)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}\right]
行列の積の定義
行列の積は1つの目の行列の列と2つ目の行列の行が同じ数でなければならない
\underset{m \times \textcolor{red}{n}}{A}\cdot \underset{\textcolor{red}{n} \times k}{B} = \underset{m \times k}{C}
→行列の積は可換(commutative)ではない(交換法則が成り立たない)
\underset{n \times \textcolor{red}{k}}{B}\cdot\underset{\textcolor{red}m \times n}{A} = \mathrm{undefined}
行列の積は結合的(associative)である
A \cdot B \cdot Cが定義されているならば
(A \cdot B)\cdot C = A \cdot (B \cdot C)が成り立つ
行列と零行列の積は零行列
OA = O
AO = O
行列の乗法は加法の上に分配的である
(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C
A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C
変換行列
>行列（マトリックス）を扱う計算は、連立一次方程式を解くときに代表されるように、もっぱら線形代数の問題に分類されています。しかし、行列の性質を説明するときには、次元、空間、ベクトル、直交などといった幾何学的な用語を使うことが多いものです。特に、現実の２次元、３次元図形を変換する処理では、そこで扱う行列を、幾何学的な性質と結びつけて理解しなければなりません。4.1 変換行列とは
\vec{v} = \left[\begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix}\right]
座標上で(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)の4点で作る正方形Aは行列で表すと
A = \left[\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\end{matrix}\right]
行列T
T = \left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{matrix}\right]
TでAを変換(拡大)
T \cdot A = \left[\begin{matrix} 2 & -2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 & -2\end{matrix}\right]
変換行列がどのような変換を行うか
考え方 :
単位行列に変換行列をかけたときにそれぞれの列ベクトルがどのような移動を見せるか
e.g. T = \left[\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right]はどのような変換か
単位行列のそれぞれの列で考える
\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] が\left[\begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix}\right]になるので、180度回転している。
\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] は\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]のまま.
なので、y軸に対して反転していることがわかる。
e.g. 正方形を原点に対して270\degree回転させる変換行列Tを求めよ
単位行列のそれぞれの列のベクトルに対して270\degree回転させた時のベクトルになるような要素を考える
T \cdot I = T \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}\right]
TI =Tなので右辺がそのままTということ