正則行列
n次正方行列Aについて、
AB = BA = I
となるn次正方行列Bが存在するとき、Aは正則行列という。
正方行列は必ずしも正則行列ではない
視点を変えればBも正則行列
Bは逆行列といい、A^{-1}で表す
Aが正則ならばBは一意に定まる＝逆行列は正則行列一つにつき一つしかない
逆行列の性質
AとBがn次の正則行列ならば、ABも正則で、
(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = I
(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}B = I
A^{-1}の逆行列(A^{-1})^{-1} = A
逆行列の求め方
A = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]
A^{-1} = \frac{1}{|A|}\mathrm{adj}(A)
随伴行列(adjugate matrix)
A = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]
\mathrm{adj}(A) = \left[\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}\right]
行列式: |A| = ad - bc
つまり、|A| = 0のとき、逆行列は定義されない
行列Aはinvertibleか？という問いは行列式が0ではないことで確認できる
ab=bc
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c}= \frac{b}{d}
\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right]
ax + by = e \Rightarrow y = \frac{-a}{b}+\frac{e}{b}
cx + dy = f \Rightarrow y = \frac{-c}{d}+\frac{f}{d}
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}のとき、グラフは平行になる
\left[\begin{matrix} a \\ c\end{matrix}\right]x + \left[\begin{matrix} b \\ d\end{matrix}\right]y = \left[\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right]
向きが同じで大きさが違う場合、解が無限に存在する
