(I,i)がF-始代数ならば、I\cong F(I)が成り立つ

任意のF-代数(X,\phi)に対して以下の可換図式が成り立つ

かなり丁寧な証明

上図のXにF(I)を入れる(少し記号は変えている)

図1

(I,i)がF-始代数なので、上図を可換にする射aが唯一存在する

今示したいことは「IとF(I)が同型である」ということであるので

I, F(I)間に準同型が存在し、その合成が恒等射になっていればいい

上図を見ると、i:F(I)\to I、a:I\to F(I)がいるので、これらが互いに逆射になっていることを示せばいい

まずi\circ a =\mathrm{id}を示す

上の図を下に伸ばす

図2

このときの緑矢印i\circ aに着目する

前提として(I,i)はF-始代数なので、

(I,i)から(I,i)に対する自己F-代数準同型も一つしかない

これは\mathrm{id}

なのでi\circ a=\mathrm{id}

次にa\circ i=\mathrm{id}を示す

a\circ i=F(i)\circ F(a)(図1の可換性より)

=F(i\circ a) (関手の定義より)

=F(\mathrm{id}) (上の議論により)

=\mathrm{id}

故に、a=i^{-1}なのでI\cong F(I)

参考