\langle S\rangleを、「「Sの元による語」全体の集合」とすると

Sを含むGの最小の部分群は\langle S \rangleになる

S\subset \langle S \rangle \subset Gという関係になる

Sは集合で、\langle S \rangle, Gは群だよ

Sのことを生成系、Sの元のことを生成元と言う

\lang S\rangが「Sを含んだ最小の部分群になるとき」か

これがないと「Gの部分集合は生成系です」になっちゃう

ちがうきがする

\langle S \rangle=\{Sのすべての語\}

前提としてはこんな感じ

まず群Gがある

ここから適当に部分集合Sを取る

これは集合。群である必要はない

では、このSを含んだ最小の部分群はなに？を知りたい

図の青い部分がどういうものか、を知りたい

結論を言うとこれが、\langle S \rangleになる

これのことを「Sで生成された部分群」と言う

例

x\in Gのみを含む部分集合S=\{x\}について見る

\lang S\rang=\{x^m|m\in\mathbb{Z}\} になる

これのことを\lang x \rangと書いたりする

本来は\lang \{x\}\rangと書くべきだが、わかるので

生成元と原始元って何が違うの