ガロア体とも言う

位数が有限の体

完全体である

有限体\mathbb{F}_q

q元体と呼ぶ

位数(要素数)がqの有限体

このqのことを元体という

qは素数pのべき乗

q=p^n

このpを標数と言う

GF(q)とも表記する

定理

位数がpの有限体が存在する

\Leftrightarrowある素数pと正の整数nが存在してq=p^n

要は、\mathbb{F}_qが体になるときのqは必ず「素数の冪」になる

逆に言えば、素数の冪にならない数qに対しては体を構成できない

ex

11は素数なので\mathbb{F}_{11}は体

8は素数の冪(2^3)なので\mathbb{F}_8は体

6は素数の冪ではないので、\mathbb{F}_6は構成できない

標数pに対し、\mathbb{F}_p\sub\mathbb{F}_qが成り立つ

例

\mathbb{F}_2=\{0,1\}

四則演算して2で割った余り、と定義する

ex. 1+1=0、0-1=1