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標数は、有限体に対して見たときにちょっと特殊な性質が見られる

このノートに書いていることは有限体固有のことも多いので、

有限体と関連させた良い感じのメモを用意したほうが良いかもしれない

定義

\forall a\in \mathbb{F}に対してpa=0が成り立つようなpの内、最小のものを標数と言う

もちろんp\in\mathbb{F}

aを単位元としている定義はなんで？

任意性は言わなくていいの？

wikiの定義では1_Rを使っている

定理

有限体\mathbb{F}_qの標数がp\Leftrightarrow1\cdot p=0

有限体\mathbb{F}_qの標数が素数pならば、

q=p^h, h\in\mathbb{N}と表せる

つまり位数qは、素数pの冪乗である

例

有理数体、実数体、複素数体では0

剰余体\mathbb{Z}_pの標数はp

例えば\mathbb{Z}_5=\{\overline{0},..,\overline{4} \}では、任意の元にp=5を掛けると\overline{0}になる

え、でも「最小のもの」なら0じゃないんか？