任意の2つの元x,yを含む集合zが存在する

公理

\forall x \forall y\exist z(x\in z\land y\in z)

上の対の公理と、分出公理(あるいは置換公理)より以下を得られる

\forall x\forall y\exist z\forall w[w\in z\iff [w=x\lor w=y]]

任意の元x,yのみを要素として持つ集合zが存在する

こちらを「対の公理」として説明している記事もある

さらに、外延性の公理より、

任意のx,yに対し、集合zは一意に決まり、

これをz=\{x,y\}で表す

特にx=yのときは、\{x\}と書く

単集合の存在

対の公理は他の公理から導くことができるので、省略されることもあるらしい ref