Zermelo set theoryが公理として弱すぎるので、Adolf Fraenkelが置換公理を追加して、ZF公理系にした

写像による像imも集合になるという主張

公理

\forall x \forall y \forall z((\psi(x, y) \wedge \psi(x, z)) \rightarrow y=z) \rightarrow \forall X \exists A \forall y(y \in A \leftrightarrow \exists x \in X \psi(x, y))

\psiをパラメータとする公理図式

クラス関数でも良い

フランクな表現

\forall X\exist Y\forall y[y\in Y\iff \exist x[x\in X\land \varphi(x)=y]]

この写像\varphiは、クラス関数でも良い

こういうXとYを一対一対応させるような\varphiがあるときに、Xが集合ならば、Yも集合である

参考

『集合とはなにか』 p.112~