群の位数と部分群に関する定理

定理

|G|=p^s_1,p^t_2,\cdots,p_n^wと一意的に素因数分解されるとき、位数がp^2_1,p^t_2,\cdots,p^w_nとなる部分群が少なくとも1つ存在する

Gは群、pは素数

例

|G|=2^2\times3なら、位数が4と3の部分群がそれぞれ少なくとも1つは存在する

逆に群Gの位数が素因数分解されないことって、そんなことあるんか？

たぶんない

だから任意の有限群には必ずシロー群が存在する

p-シロー群

pは素数

群Gの部分群

位数|G|=p^mlで表されるときp^m個の元を持つ部分群

lは素数pと互いに素な数

参考

『代数学 1 群論入門』 p.107