efficient frontier
期待収益と標準偏差の関係
現金
x: 失うリスクはない
y ちょっとだけある
lottery（宝くじ）
x: ほぼ0 ほぼ確実に外れる
y: -100% 全額失う
coin flipping（ランダムなコイントス）
x 最も大きい（ランダムだから）
y 期待値は0
US goverment bond（米国債）
x ボラティリティはちょっとある
y: cashよりは高い
x: 金を全部失う可能性がある
y: ハイリターンを狙う
stock 株
x, y: リスクもリターンも高くなりがち
x: 単一株よりボラティリティが低い
Real Estate（不動産投資）
Private Equity（未上場企業）
Hedge fundもこのあたり
投資家は「標準偏差を小さく、リターンを大きく」したい
S.Dが与えられたときに、それ以上のリターンが得られない
逆に、リターンが与えられたときに、それ以上小さいS.Dが与えられない
>リスク許容度に応じた最適ポートフォリオの具体的な計算方法ですが、次の最大化問題の解となる配分比率(w)を求める
\underset{\mathbf{w}}{\text{maximize}}\, \mathbf{\widehat{r}}^T \mathbf{w} - \frac{1}{2\lambda} \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w}
\text{s.t.}\, \mathbf{w}^T \mathbf{1} = 1, \mathbf{a} \leq \mathbf{w} \leq \mathbf{b}
\widehat{r} 各資産クラスの期待リターンのベクトル（経費率控除後）
\Sigma: 分散・共分散行列
\bm{w}: 各資産クラスへの配分比率のベクトル
\lambda: リスク許容度に応じた係数
\bm{a} 各銘柄への配分比率の下限ベクトル
\bm{b} 各銘柄への配分比率の上限ベクトル
効用関数の定式化が直観的には難しいが、他人のお金を運用する時にはこのような方法でリスクを決定する