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群の指数の積
#命題

群Gの２つの部分群H \supset Kに対し、
(G:H)(H:K) = (G:K)
特にK = \{e\}とすると
(G:H) \sharp H = \sharp G
ラグランジュの定理

ただし、
(G:H)はHのGにおける指数 　 see 部分群の指数
#G は群Gの濃度


証明

各剰余集合G/H, H/Kの代表元をとって、剰余類別
G = \coprod_{i \in I}x_iH, H = \coprod_{j\in J} y_jK
を考える。
この時
G = \coprod_{(i,j) \in I \times J} x_iy_j K
がGのKに関する剰余類別を与える事が容易にわかる
\sharp I = (G:H), \sharp J = (H:K)ゆえ、命題の主張が導かれる
群の指数の積