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環上の加群
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definition 環R上の左加群
M = \left\lang\mathrm{ LeftModule }\colon R, U;+, 0, -;\right\rang
R-左加群
環 R = \left\lang\mathrm{ Ring }\colon R.U; (+), 0, -, (×), 1 \right\rang
M=(M_0,S)
環R上の左加群
R-左加群
Abel群M_0 = (|M_0|,+,0,-)
もっといい記号の使い方？dragoon8192
スカラー倍 Scalar multiplication
S\colon R × M_0 \to M_0
カリー化すればS\colon R \to M_0^{M_0}
環の乗法
S(r)\circ S(s)= S(rs)
よってRが単位的環ならばS(1_{R})=\mathrm{id}_{M_0}
rx \coloneqq S(r,x)と略記できる
加法の分配律
S(r,x+y) = S(r,x) + S(r,y)
係数環の加法の分配律
S(r+s,x) = S(r,x) + S(s,x)

環R上の右加群
R-右加群
環の乗法についての性質が反変になったもの
S'(r)\circ S'(s)= S'(sr)
図式順との相性がいい
s.S' * r.S' = (sr).S'
この場合、xr\coloneqq x.(r.S')
右から作用するように略記する

圏としての加群

Rが可換環ならば
右加群と左加群は一致
単にR-加群

Ref環上の加群 - Wikipedia