二項関係に付与される公理系
二項関係に付与される4つの公理
それによって定められる数学的構造
表について
4つの公理について全16パターン
Tの追加で強い構造
逆関係は左右を入れ替えたものになる
ex. 写像の逆関係は全単射対応
二項関係の合成を行っても、両者が同じ公理を満たすなら保存される
制限の作用も追加
公理
R = \left\lang\mathrm{Binary\ relation}\colon X,Y;G \right\rang
x,x' \in X,y,y' \in Y
一意性
or 単射 injective
\forall x,x' \in X,\exist y \in Y,
xRy \wedge x'Ry \Rightarrow x = x'
or 函数的 functional
\forall y,y' \in Y, \exist x \in X,
xRy \wedge xRy' \Rightarrow y = y'
一対一 one to one
左一意かつ右一意
全域性
\forall x, \exist y, xRy
つまり \operatorname{ddef}(R) = \operatorname{dom}(R)
or 全射 surjective
\forall y, \exist x, xRy
つまり \operatorname{im}(R) = \operatorname{cod}(R)
(対応) correspondence
左全域かつ右全域な二項関係のみを対応と呼ぶ人もいる