二項関係
or
本質的には同じもの
用途によって名が異なる
写像としての扱いも
定義
R = \left\lang\mathrm{Binary\ relation}\colon X,Y;G \right\rang
or \left\lang\mathrm{BRel}\colon X,Y;G \right\rang
where
\operatorname{dom}(R) = X: 集合
\operatorname{cod}(R) = Y: 集合
追加の定義
\operatorname{ddef}(R)=\pi_1(G) \subseteq X
グラフの域への射影
\operatorname{im}(R)=\pi_2(G) \subseteq Y
グラフの余域への射影
二項関係として
命題「x \in Xとy \in YはR- 関係をもつ」
\iff (x,y) \in G
二項関係R \colon X \to Y
写像としてR = \chi_G \colon X\times Y \to \mathbb B
R(x,y) = x R y = ((x,y)\in G)
グラフの指示函数と同一視した表示
where
X = \operatorname{dom}(R)
Y = \operatorname{cod}(R)
G =\operatorname{graph}(R)
対応として
対応R \colon X \to Y
写像としてR\colon X \to 2^Y
R(x) = \left\{y \in Y \mid (x,y) \in G\right\}
where
X = \operatorname{dom}(R)
Y = \operatorname{cod}(R)
G =\operatorname{graph}(R)
像 image
or 値 value
x\notin \operatorname{ddef}(R)のとき空集合になる
記号の濫用
そもそも\operatorname{graph}(R)をR と呼びがち
まあ実体としてはそうだけど
域、余域も重要