圏論の道案内
ざっくり圏論を知る本
定義がアバウトだったりするので、別に教科書もあるといいかも
あとで別の教科書を読む前提で雑に世界を俯瞰する
おじさん2人の会話形式で進みます
結構ミスってるので注意
目次
1章 道案内の前に
2章 圏
3章 関手
4章 自然変換
5章 普遍性
6章 冪: プログラムの本質
7章 圏論的集合論
8章 随伴
9章 モナド
10章 道案内の後に
kindle版買ってみた
少し読んだ 良かった
今までも圏論に入門しようとしたことはあるのだが、つかめなかった
原因
硬派すぎるのを読んでしまっていた
集合圏のイメージと密結合していた
普通の集合と写像
素朴な定義に合わせて、モノイド圏から考えて、絶妙に圏の定義が今までの概念をうまい具合に抽象しているのが分かってきた
以前は「圏の圏」とか全然だったけどもう不安はなくなった
集合という具体を失って射だけを見るようにすることで、圏の構造の中にさらに圏の構造を見ることができる
インセプションみてえだなって思った
痺れる
集合という具体を捨てて再帰的に圏を考えていくのってラッセルのパラドックスと同様の矛盾を引き起こしそうだ
おそらくこれはもっとあとには書いてある
おじさんの雑談である必要は全然ない気がする
たしかにw
以前はこういう軟派な本は好きじゃなかったんだけど色好みせず読むぞという考えに変わった
てっきり脳内おじさんの会話かと思っていたが、ふたりとも著者として名前があったので実在おじさんの会話だったのかも
量系Mの量は\mathbb{N}のMへのモノイド準同型
あたりからよくわからなくなってきた
量系という言葉は筆者の造語で、一般的には可換モノイドというのに注意
/mrsekut-p/圏論の道案内に書いてたやつをコピってきました
この本特有の名前のものたちのまとめです↓
変なところがあれば修正おねがいします
ありがとーー
量系
これ、もっとわかりやすく言えば「量系圏」と言えるのかな
可換モノイドの具体例として量のシステムを考えている
量とは「kg」とか「km」とか
可換なモノイドなので、演算の順序に制限はない
射は量
合成は加法
恒等射は0のモノイド
「0kg」とか
量系の圏\mathrm{Qua}
可換モノイドの圏\mathrm{CMon}の具体例として考えている
量系は筆者が用意した可換モノイドの別名だから、具体例じゃなくて同じではない？
同じ
対象は量系(M,M')
量系間の準同型全体\mathrm{Hom}(M,M')も量系
射はモノイド準同型
量系と量系の間の射だね
「走行時間(h)を表す量」と「走行距離(km)を表す量」の正比例を考えると
走行時間が決まれば、走行距離が決まる
この関係をhからkmへの関手とみなす
例えば10km/hのとき、関手f:h\rightarrow kmを考えると
f(10+20)=f(10)+f(20)=1000+2000=3000(\mathrm{km})になる
任意の量系Mと\mathrm{Hom}_\mathrm{Qua}(\mathbb{N},M)はモノイドとして同型
量系間の準同型全体\mathrm{Hom}(M,M')も量系
量系から量系への関手は、正比例の関係と捉えることができる
ここで一番上のような何もしない関手0を定めれば、この関手群\mathrm{Hom}(km,h)を量系圏と考えることができる
この射は「1単位あたりの量」である内包量だと考えることができる
これ、言ってないけど関手圏Funのことだよね
ref 
pp.82-85 関手の例4
\tilde{v}(n)=vnのnは\mathbb{N}の射
\tilde{v}は、\mathbb{N}からMへの関手
ここでの主張は、「一般の量をモノイド準同型とみなせる」ということ
vnだけでMの全ての射を表せることが前提にあるきがする
なんでコレ成り立つ？
ちょっと疑問なのは、vと2vの間に入るものはないのか？ってこと
v=2なら、2と4の間に3みたいなやつがありそうだけど、
今は無限集合と無限集合の一対一対応の話をしているからそれはどうでもいいのか？
Mは量系圏。つまり可換なモノイド
\mathbb{N}も同じ
射を元と考えたときの、写像と捉えることができる
vと\tilde{v}を同一視できる
こまかい定義を確認する前に、これが何を言っているのかわからない
一つの量系圏の射と考えていたものが、
複数の量系の圏の射とも考えることができる
上の画像の小さい丸まってる矢印が前者、左から右へいってる矢印が後者
これらは完全に一対一対応してるので同一視できる
この話に関しては関手がわからんくなったの答えは、「関手は写像」だな
数系
半環の具体例として考えている
特殊な量系のこと（？）
どう特殊かというと
上の\mathbb{N}は数系
量系は\mathbb{N}上の量系
？？？？？
数系Aの量を数と呼ぶ
数系Aの射だね
まじでわからん
定義がざっくりすぎる
半環から攻めたほうがいいきがしてきた
無謀だった