from 数学の学び方（光成 滋生さん）

参考までに岩波数学辞典第3版による開集合の定義を、数学記号を日本語に置き換えて雰囲気だけお伝えします。

集合Xの部分集合の集合Dが

Xと空集合を含む。

O_1、O_2がDの要素ならO_1とO_2の共通部分集合もDの要素である。

ある集合\Lambdaのすべての要素\lambdaについてO_\lambdaがDの要素であれば、ある集合\Lambdaのすべての要素\lambdaについてO_\lambdaの和集合をとったものもDの要素である。

よくある再帰的定義

の3つの条件を満たすとき、Dを開集合系と言い、Dに属する集合Oを開集合と言う。

Oλとは

λは添字。集合Λの要素をO_1,O_2\cdots,O_\lambdaと名前をつけて呼んでいる

作用してるのかと思ったw

見やすいよう\KaTeXで書き直しました

部分集合の集合はいまやってるが……

「部分集合の集合」で詰まった

要素をとりだすと部分集合であるような集合じゃないのかな

数学記号に直すと

\mathcal{D}がXの開集合系である:\iff1~4をすべて満たす

1. \mathcal{D}\subseteq 2^X

\forall O\in\mathcal{D};O\subseteq Xと同値

2. X,\varnothing\in \mathcal{D}

3. \forall O_1,O_2\in \mathcal{D};O_1\cap O_2\in\mathcal{D}

有限個の共通部分集合

4. \forall \mathcal{O}\subseteq\mathcal{D};\bigcup\mathcal{O}\in\mathcal{D}

無限個の和集合

数式はわかったけど気持ちがわからない

具体例で考えないと

試しにX=\rbrack0,1\lbrackで考えてみよう

(明日以降やります。誰かやってもおｋ)

離散集合のケースをやっておいた

それはそうと分数使うの入力がめんどいからX=\rbrack0,5\lbrackとかがいいんじゃない？

集合に含まれるかどうかで距離っぽい概念を表している

それと1~4がどう組み合わさって「開」を表しているのかは自分もわからない

これ以上は具体例がほしい

具体例

\{X,\varnothing\} は X の開集合系

\{ \varnothing, \{0, 1\}\} は \{0, 1\} の開集合系

2^X は X の開集合系

\{ \varnothing, \{0\},\{1\},\{0, 1\}\} は \{0, 1\} の開集合系

その他

\{ \varnothing, \{0\},\{0, 1\}\} は \{0, 1\} の開集合系